北师大版（2019）高中数学 必修第二册 3.1　建筑物高度的测量3.2　测量和自选建模作业的汇报交流（课件共32张PPT+作业）

(共32张PPT)
第三章　数学建模活动
§1　建筑物高度的测量
§2　测量和自选建模作业的汇报交流
课程标准 核心素养
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题. 重点提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
必备知识 探新知
新知探究
情境引入
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.8 848.86米——2020年12月8日，国家主席同尼泊尔总统互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程.8 848.86米——这个珠峰“身高”是如何测定的，以及在此次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法我们可能感到不可思议，从简单处说，那就是数字的测量与解三角形的应用．
问题：测量高度是一个很传统的数学应用问题，你能举出一些例子吗？
提示：1．测量学校内的旗杆．
2．测量学校内的一座教学楼．
3．测量学校外一座看得见，但底部不可到达的建筑物．
关键能力 攻重难
一、情境与问题
请观察自己学校内、外的建筑，用学过的数学知识，选择多种合适的办法，测量下面这样几个对象的高度(如图所示)．
任务1　学校内的旗杆或自己学校内的一座教学楼．
任务2　学校外一座看得见但不可及的建筑．
操作建议：
(1)学生自由分组，讨论本小组的测量目标、小组成员的分工、需要准备的测量工具，如果有需要，也可以自制一些简单的测量工具．
(2)小组成员采用“头脑风暴”的形式集思广益，充分讨论，对需要测量的对象给出不同的测量方案，最好能有两套方案来测量同一个建筑物．小组成员需要事先相对精细地分工，弄清楚需要测量什么数据，测量几次，需要多少数据，如何分析和减小可能产生的测量和计算误差等．
(3)分工合作完成测量，及时记录好测量的数据．
(4)完成“测量工作报告表”的计算和报告，并利用多种形式表现小组的成果和创意．
二、试着做一做
对于高度测量的问题，我们容易想到利用三角形的知识来解决，比如测量学校内的旗杆高度，由于观测点与旗杆之间的水平距离是可以测量的，所以我们只要测量一个仰角，就可以利用直角三角形的边角关系计算出旗杆的高度．当然，如何减少误差是一个需要考虑的问题，同时在测量时需要哪些测量工具也是要事先准备好的．请大家先思考一下需要用到的测量工具有哪些．
学校外的建筑物高度测量问题，与旗杆测量问题的差异在哪里呢？由于我们在校园内测量，观测点与被测量的对象之间的水平距离不可测(比如它们之间存在不可逾越的障碍物，或者即使其之间的水平距离是可测的，但是距离较远)，我们又该如何测量其高度呢？
我们可以尝试设计不同的测量方案，要考虑这些不同方案需要测量哪些数据？其优缺点是什么？所用的(数学)原理又是什么？请你在网格区域中试着做一做，将方案填写在下表中.
测量方案 测量方案优 缺点分析 数学原理
图示 测量数据 计算方法 方案建构原理



三、启发与提示
通过前面的讨论我们发现，要测量的对象按照测量的情境可分为以下两类：
第一类，观测点与测量对象的水平距离可测量．
第二类，观测点与测量对象的水平距离比较远或者不可测量．显然，第一类是测量高度中最基本、最简单的情形，而第二类是测量高度中较为复杂，却是在生活实践中更为常见的情形．我们先考虑如图1所示的情形，测量物体的高度记为AB，显然AB＝BC·tan ∠ACB，因此测量观测点与被测量对象之间的水平距离是测量高度的重要“桥梁”．
通过上面的分析，我们容易发现，不管是测量学校内旗杆的高度还是测量学校外建筑物的高度，从数学的角度来看，其实就是通过测量出某些量，进而计算出高度，本质上是求一条边的长度，因此，我们可以把这样一个高度测量问题归结为通过建构一个(或几个)三角形，利用解三角形的知识来解决，这种办法的核心是测量一个(或几个)“角”及一个“距离”，需要提醒大家的是“角”的测量可能会是引起较大误差的主要因素．
如果你想利用物理学中光学的有关知识，也可以采用“镜面反射”的办法来测量高度，其基本操作如下：
如图3所示，在水平地面的某点A处水平放置一面平面镜子M1(或一盆水)，观测人员在同一水平面上移动，直到能在平面镜中看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a1，注意此时保持镜子M1(或一盆水)位置不动，将第二面平面镜子M2(或一盆水)水平放置在水平地面的点B处，观测人员在同一水平面上移动，直到能在平面镜M2中看到楼顶端，同时测量并记录此时镜子中的
楼顶与观测人员之间的水平距离a2，测量两面镜子M1
和 M2之间的水平距离a，最后就能计算出楼高．其测
量原理如图3所示．
图3
四、简要参与解
通过以上的分析，我们给出几种测量方案及简要分析供师生参考，如下表所示：
几种不同的测量方案及简要分析
五、反思与拓展
在本节中，我们提供了几种不同的方案来测量高度，你是否还有其他的测量方案或者想法？下面是学生在实际测量旗杆高度时出现的一种做法，大家可以思考一下他的做法是否合理．
测量方案：让一个学生站在旗杆下，然后照一张含有这个人的完整照片．照片就是一个很好的比例尺，按照片中的人高与旗杆的比例，求出旗杆高度．
如图4所示，用计算机显示拍摄的照片，量出旗杆有6.3个学生的高度，这个学生的身高为1.73 m，于是得到旗杆的高度约为6.3×1．73＝10.9(m)．
(1)你认为这种测量方法如何？如果认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如果认为有问题，请说明问题出在何处，结果偏大还是偏小？
(2)你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？
需要注意的是，这个方案虽然操作简单，但却容易出现较大偏差．如果拍照者与参照物、测量对象之间的距离较近，得到的测量结果与实际真实的结果相比会偏小．拍照者离旗杆越近，误差越大．事实上，根据“近大远小”的视觉规律，教学楼下面的“一人高”和教学楼顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，这个方案把它当成一样的来计算了．如果拍照者与参照物之间的距离较近，显然顶端的“一人高”比下端的“一人高”所对应的实际尺寸要大，所以容易造成测量结果比实际结果小．那么如何减小这个方案的误差呢？大家可以思考一下．
减少误差的思路有以下两种：
反思1　在本文中，我们提到了很多种测量的方法，经过实践就会发现，测量结果与实际高度之间存在误差，甚至误差还比较大，仔细分析误差产生的原因并找到尽可能减小误差的办法是测量中必不可少的一部分工作．在实际测量中可能产生误差的原因有：
(1)测量工具的问题．例如，自己制作的测量角的工具相对比较粗糙、刻度不够精确．
(2)在利用“镜面反射”的方法测量时，测量对环境的要求比较高，放置镜子的地面需要保证足够平，同时在两次观测点放置的镜子与观测人员所站的位置要在一条直线上，观测人员在观测镜子中的楼顶时要保证垂直状态且两次观测的高度保持一致，而这些在实际测量的过程中很难精确保证，从而造成误差．
(3)在利用“镜面反射”的方法来测量时，图3中的a值(两次镜间距)如果太小，使测量的角度差或人镜距离太小，从而造成较大的计算误差．解决的方法是可以利用实际测量时的场地环境，尽可能增大a值，从而提高测量精度，当然还有一个办法就是通过多次测量取平均数，这也是减小误差的必要手段．
反思2　具备一些测量上的常识性知识，对身边的事物有一个正确的数量估算，会更利于我们完成此项工作．例如一座20多层的写字楼的高度大约为80 m.
六、测量和自选建模作业的汇报交流
1．根据完成的测量要求，按小组或个人，完成一个测量结题报告或者写一篇建模小论文，在班级中宣讲交流．
请特别注意说明，测量模型或测量原理的选取，测量误差的减少，测量的结果，测量中的创新点、得意点、问题点等．
2．也可以结合必修学段自主选做的数学建模小课题的成果，进行结题交流．请报告人事先完成结题报告或小论文，再进行成果展示交流．
请班里的其他同学相互给出评价，特别注意总结、交流、反思建模过程中的收获和问题，积累建模活动的经验．
3．通过对各组建模结果的自评和互评，相互学习借鉴，学会欣赏他人的建模成果，展现同学们学数学、用数学的过程，培养科学态度和创新精神．
结题报告(或建模小论文)参考提纲表
主题、项目 内容、表述
问题、背景、意义
解决问题的方法和得到的结果
前期的学习、资料和工具的准备
假设、分析、建模，求解的主要过程
对结果的解读和分析
小组成员的分工和各自的主要贡献
工作的收获或感受，得到的帮助和致谢
主要参考文献