(共49张PPT)
第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
课程标准 核心素养
1．同角三角函数基本关系式的推导及应用． 2．同角三角函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论. 通过同角三角函数式的推导及应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
基础知识
1
正切
思考：(1)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α＋cos2α＝1也成立吗？
(2)在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确定？
提示：(1)也成立．在使函数有意义的前提下对任意角α上式都成立．
(2)其正负号是由角α所在的象限决定．
基础自测
√
√
√
B
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用同角基本关系式求值
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例 1
角度2 利用弦切互化求值
例 2
题型二 三角代数式的化简
例 3
[归纳提升] 三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
题型三 三角恒等式的证明
例 4
题型四 sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系及方程思想的运用
sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系：
(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．
(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．
例 5
课堂检测 固双基
C
C
A
cos 80°
5．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[解析] 证法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
所以原式成立．
证法二：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α.故左边＝右边．所以原式成立．
证法三：令1－sin α＝x，cos α＝y，则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
故左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．所以原式成立．
素养作业 提技能第四章 1
A 组·素养自测
一、选择题
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0.
∵∴sin α＝－.
2．化简的结果为( D )
A．sin 220° B．cos 220°
C．－cos 220° D．－sin 220°
[解析] ＝|sin 220°|，又220°为第三象限角，所以sin 220°<0，故＝－sin 220°.
3．已知＝－，则＝( A )
A． B．－
C．2 D．－2
[解析] 由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A．
4．若α为第三象限角，则＋的值为( B )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
[解析] ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴原式＝－－＝－3.
5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析] (sin α＋cos α)2＝，
∴2sin αcos α＝－<0，
又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．
6．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为( B )
A． B．
C．3 D．4
[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，
又sin2α＋sin αcos α＝
＝＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝ 60° .
[解析] ∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.
8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ .
[解析] 由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.
又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.
9．若＝1，则tan α的值为 3 .
[解析] ＝1化为＝1，
所以2tanα＋1＝3tan α－2，
所以tan α＝3.
三、解答题
10．(1)已知0(2)已知tan x＝2，求sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的值．
[解析] (1)由sin x＋cos x＝，①
两边平方，得1＋2sin xcos x＝，则sin xcos x＝－.
∵0∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝1＋2×＝，
∴sin x－cos x＝.②
由①②解得∴tan x＝－.
(2)由tan x＝2，
得sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x
＝
＝＝＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若π<α<，＋的化简结果为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 原式＝＋
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
2．若＝2，则sin θ·cos θ＝( D )
A．－ B．
C．± D．
[解析] 由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝.
3．(多选)下列计算或化简结果正确的是( AB )
A．＝2
B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2
C．若tan x＝，则＝1
D．若sin α＝，则tan α＝2
[解析] A正确，＝·＝2；
B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；
C不正确，＝＝＝2；
D不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定．
4．(多选)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( BC )
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．＝sin α＋cos α
[解析] 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，所以A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，所以B，C正确，D错．
二、填空题
5．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝ ，tan α＝ －1 .
[解析] 由题意可得解得
sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－1．
6．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝ .
[解析] 因为tan A＝>0，则∠A是锐角，则sin A>0，解方程组得sin A＝.
三、解答题
7．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1．
[解析] (1)解：因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
原式＝tan α＝tan α
＝tan α
＝·＝·＝－1．
(2)证明：·＝·
＝·＝＝＝1．
8．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值；
(2)求tan θ＋的值．
[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：
∵sin2θ＋cos2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④
∴将②③代入④，得－＝1，
即9k2－8k－20＝0，解得k＝－或k＝2(舍去)．
∴k＝－.
(2)tan θ＋＝＋＝，
由(1)知sin θ·cos θ＝＝－，
∴tan θ＋＝＝－.
