(共37张PPT)
第四章 三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
课程标准 核心素养
1．经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系. 在熟知两角和与差的余弦公式的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点
两角和与差的余弦公式
基础知识
简记符号 公式 使用条件
Cα－β cos(α－β)＝_________________________ α，β∈R
Cα＋β cos(α＋β)＝_________________________
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
思考：(1)cos(α－β)与cos α－cos β相等吗？
(2)两角和与差的余弦公式有怎样的结构特点？
(3)两角和与差的余弦公式有怎样的适用条件？
提示：(1)一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如当α＝0°，β＝60°时cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°.
(2)公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°. ( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立． ( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立．
( )
(4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1． ( )
×
×
√
×
D
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于_____.
[解析] 逆用两角和的余弦公式可得：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.
0
4．计算cos(60°－45°)＝_______.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 给角求值
(1)求值：cos 75°＝_________；
(2)求值：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝_____；
(3)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)
sin(25°＋α)＝_____.
[分析] 尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用C(α±β)进行求值．
例 1
[归纳提升] 运用两角和与差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角和与差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
题型二 给值求值
例 2
题型三 给值求角
例 3
[归纳提升] 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
课堂检测 固双基
1．cos 20°＝ ( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
[解析] cos 20°＝cos(30°－10°)
＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B．
B
A
4．sin(α－β)sin α＋cos(α－β)cos α＝_________.
[解析] 原式＝cos [(α－β)－α]＝cos(－β)＝cos β.
cos β
素养作业 提技能第四章 2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．cos(－75°)的值( C )
A． B．
C． D．
[解析] cos(－75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝
cos 45°·cos 30°－sin 45°sin 30°＝.
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] 原式＝cos[(45°－α)＋(α＋15°)]＝cos 60°＝.
3．设α∈，若sin α＝，则cos＝( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] α∈，sin α＝，cos α＝，
原式＝
＝(cos α－sin α)＝.
4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( B )
A．－ B．
C． D．
[解析] ∵sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，可解得：sin θ＝，cos θ＝－＝－，
又∵sin＝－，φ是第三象限角，
cos φ＝－，sin φ＝－＝－，
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.
5．若cos αcos β＝1，则cos(α＋β)＝( C )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[解析] 因为|cos α|≤1，|cos β|≤1，所以|cos αcos β|≤1，于是或所以sin α＝0，sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1，故选C．
6．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cos α＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，
∴cos(30°＋α)＝－，
又cos α＝cos [(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)cos 30°＋sin(30°＋α)sin 30°＝－×＋×＝.
二、填空题
7．计算：sin 60°＋cos 60°＝ .
[解析] 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°
＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)＝.
8．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝ .
[解析] 原式＝cos [(61°＋2α)－(31°＋2α)]
＝cos 30°＝.
9．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝ .
[解析] cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②
①×3－②得：2cos αcos β＝4sin αsin β，
即tan αtan β＝.
三、解答题
10．已知sin＝，且<α<，求cos α的值．
[解析] ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( B )
A．sin 2x B．cos 2y
C．－cos 2x D．－cos 2y
[解析] 原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)sin(x－y)＝cos [(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.
2.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为4?9，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为( A )
A． B．
C． D．0
[解析] 设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4?9，可得小正方形的边长为，
所以有sin α－cos α＝，①
cos β－sin β＝，②
由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得＝sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＋cos αsin β＝cos2β－(cos αcos β＋sin αsin β)＋sin2β＝1－cos(α－β)，
解得cos(α－β)＝.
3．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的α，β的值可能是( BC )
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
[解析] 由条件cos αcos β＝－sin αsin β得
cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，α＝，β＝，α＝，β＝都满足，故选BC．
4．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( AC )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝ D．β－α＝－
[解析] 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1．∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，
∴β－α＝，
∴C正确，D错误，故选AC．
二、填空题
5．已知cos＋sin α＝，则cos的值是 .
[解析] cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，
cos α＋sin α＝，
∴cos＝cos α＋sin α＝.
6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝ － .
[解析] 因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，
所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α
＝2sin2α－1
＝2×2－1＝－.
三、解答题
7．已知α、β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
[解析] ∵α、β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，
∴α＋β∈，β－∈，∴cos(α＋β)＝＝，cos＝－＝－，∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
8．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
[解析] (1)由|AB|＝，得
＝，
∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝
cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
