(共43张PPT)
第四章 三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式
2.4 积化和差与和差化积公式
课程标准 核心素养
能运用积化和差与和差化积公式进行简单的恒等变换. 通过证明及应用积化和差与和差化积公式，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
积化和差公式
基础知识
知识点2
和差化积公式
思考：(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的？
(2)和差化积公式是如何推导出来的？
基础自测
√
√
√
D
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用
例 1
[归纳提升] 给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．
【对点练习】 求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值．
题型二 积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用
例 2
[归纳提升] (1)对于给值求值问题， 一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止．
(2)积化和差与和差化积公式中的“和差”与“积”都是指三角函数值之间的关系，并不是指角的关系．
题型三 利用积化和差、和差化积公式证明恒等式
例 3
[归纳提升] 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．
题型四 利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题
不同角的正余弦和差及乘积出现时，通常利用和差化积与积化和差公式进行化简与求值，此时需熟悉并能正确地应用好此公式．
例 4
[归纳提升] 1．利用积化和差、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系．
2．求解三角函数的值域(最值)常见到的类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c或y＝Acos(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c或y＝acos2x＋bcos x＋c的三角函数，可先设sin x＝t或cos x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
课堂检测 固双基
D
B
B
B
素养作业 提技能第四章 2.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．计算sin 105°cos 75°的值是( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.
2．已知sin(α＋β)sin(β－α)＝m，则cos2α－cos2β等于(提示：sin 2α＝2sin αcos α)( B )
A．－m B．m
C．－4m D．4m
[解析] cos2α－cos2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)
＝－2sinsin·2cos·cos
＝－sin(α＋β)sin(α－β)
＝m.
故选B．
3．函数y＝sincos x的最大值为( B )
A． B．
C．1 D．
[解析] ∵y＝sincos x
＝
＝
＝sin－.
∴函数y取最大值为.
4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( A )
A．0 B．
C． D．1
[解析] 原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.
5．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( A )
A．1－cos α B．1－sin α
C．1＋cos α D．1＋sin α
[解析] f(x)＝2sinsin＝－[cos α－
cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.
当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α.
6．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，
∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，
即cos2α－sin2β＝.
二、填空题
7．sin 105°＋sin 15°＝ .
[解析] sin 105°＋sin 15°
＝2sincos＝2sin 60°cos 45°
＝2××＝.
8．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝ .
[解析] 原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°
＝2cos 60°·cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°
＝cos 60°＝.
9．sin·cos化为和差的结果是
cos(α＋β)＋ sin(α－β) .
[解析] 原式＝＝ cos(α＋β)＋ sin(α－β)．
三、解答题
10．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．
[解析] 由题意，得cos Asin C＝[sin(A＋C)－
sin(A－C)]＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．
∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，
∴－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤.
∴cos Asin C的取值范围是.
B 组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝2sinsin的最大值是( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] f(x)＝2sinsin
＝－
＝－cos＋cos
＝cos－.
f(x)max＝1－＝.
2．(多选)下列四个关系式中，不正确的是( ABCD )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
[解析] A错误，右边应是2sin 4θcos θ.B错误，右边应是2sin 4θsin θ.C错误，右边应是－2cos 4θsin θ.D错误，左边为异名三角函数，应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin＝2sincos.
3．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.
∴cos β－cos α>0，
∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数．
∴β<α，∴0<α－β<π，由原式可知：
2sincos＝，
∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
4．已知△ABC是锐角三角形，P＝sin A＋sin B，Q＝cos A＋cos B，则( B )
A．P
Q
C．P＝Q D．P与Q的大小不能确定
[解析] P－Q＝(sin A＋sin B)－(cos A＋cos B)＝2sin·cos－2cos·cos＝2cos，由于△ABC是锐角三角形，所以A＋B＝180°－C>90°，所以>45°，
sin>cos，00，综上，P－Q>0，即P>Q，故选B．
二、填空题
5．函数y＝coscos的最大值是 .
[解析] 由题意知，y＝
＝＝－cos 2x，
因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
6.＋＝ .
[解析] ＋＝＋
＝
＝
＝
＝＝2cos 30°＝.
三、解答题
7．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
[解析] (1)f(x)＝＝
＝2coscos＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1．
(2)∵f(x)＝22－且－1∴当cos x＝－时，f(x)取最小值－.
8．求下列各式的值：
(1)cos＋cos－2sincos；
(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.
[解析] (1)cos＋cos－2sincos
＝2cos·cos－cos
＝2coscos－cos
＝cos－cos＝0.
(2)sin 138°－cos12°＋sin 54°
＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°
＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°
＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°
＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝
＝
＝
＝＝.
