第四章 3.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若sin＝，则cos α等于( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．(2021·全国高考乙卷文科)cos 2－cos 2＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，cos 2－cos 2＝cos 2－
cos 2＝cos 2－sin 2＝cos＝.
故选D．
3．函数y＝的最小正周期是( B )
A． B．
C．π D．2π
[解析] y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.
4．sin 2α＝－，则cos2的值为( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] cos2＝
＝＝＝.
5．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵sin 2A＝2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝.
∵在△ABC中，0
0，∴cos A>0，
∴sin A＋cos A＝＝＝＝.
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，
∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－1，
又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.
二、填空题
7．若sin ＝， 则cos 2θ＝ － .
[解析] 由sin＝cos θ＝，
得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
8．计算：tan －＝ －2 .
[解析] 原式＝＝＝－2.
9．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝ .
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.
∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.
三、解答题
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan 15°＋tan215°；
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
[解析] (1)原式＝
＝
＝
＝＝＝8.
(2)原式＝tan 30°(1－tan215°)＋tan215°
＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1．
(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°sin 80°sin 40°
＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于( C )
A．10° B．20°
C．70° D．80°
[解析] 由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.
所以α＝70°.
2．(2021·山西晋中高三适应性考试)若sin＝，则sin＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意及诱导公式可得sin＝
cos＝cos，
又由余弦的倍角公式，可得cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，
即sin＝.
3．(多选)下列各式中，值为的是( BC )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
[解析] A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1．故选BC．
4．(多选)已知函数f(x)＝，则有( BCD )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
[解析] 因为f(x)＝＝＝
－tan x，
所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD．
二、填空题
5．若tan＝，则tan 2α＋＝ 2 .
[解析] 由tan＝＝，可求得tan α＝，
∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.
6．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝ － ；sin θ＝ .
[解析] ∵θ∈，
∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.
∴cos 2θ＝－
＝－＝－.
又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，
∴sin2θ＝＝＝，
∴sin θ＝.
三、解答题
7．定义向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，若m与n共线，则有x1y2－x2y1＝0，已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵m与n为共线向量，
∴×1－(－1)×sin α＝0，
即sin α＋cos α＝.
(2)由(1)得1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，
∴sin 2α＝－.
∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
∴(sin α－cos α)2＝2－2＝.
又∵α∈，∴sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－.
因此，＝.
8．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
[解析] (1)因为f(x)＝cos2－sin cos －
＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，
所以cos ＝.
所以sin 2α＝－cos
＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.(共51张PPT)
第四章 三角恒等变换
§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
课程标准 核心素养
能从两角和的正弦公式推导出倍角的正弦、余弦、正切公式. 通过推导二倍角公式以及三角恒等变换，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
二倍角的正弦、余弦及正切公式
基础知识
(1)因式分解变换．
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
(2)配方变换：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α
＝(sin α±cos α)2.
知识点2
二倍角公式的转换
思考2：如何证明“缩角升幂公式”？
提示：因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
基础自测
√
×
√
√
D
C
D
5．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为______.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用二倍角公式给角求值问题
例 1
[归纳提升] 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
题型二 利用二倍角公式给值求值问题
例 2
[归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos 2α与sin2α及cos2α之间的关系，cos α±sin α与sin 2α的关系等．
题型三 利用二倍角公式给值求角
例 3
[归纳提升] 本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．
题型四 三角函数式化简
例 4
[归纳提升] 化简三角函数式的基本思路
解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围．
利用二倍角公式化简时忽略原函数的定义域
易错警示
例 5
[方法点拨] 运用公式化简函数解析式的过程中，忽略定义域是解决与三角函数有关问题常见的易错点．要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法．
课堂检测 固双基
A
D
A
D
A
素养作业 提技能