(共43张PPT)
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
课程标准 核心素养
1．通过方程的解认识复数． 2．理解两个复数相等的含义． 3．理解复数的代数表示. 通过本节的学习，培养学生获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系及培养数学抽象等素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
为了使得像方程x2＝－1有解，我们引进一个新数i，叫作________，并规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数与它进行四则运算时，原有的_________________仍然成立．
虚数单位
知识点1
虚数单位
基础知识
加法、乘法运算律
形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作______，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的______，记作Re z，b称为复数z的______，记作Im z.
复数
知识点2
复数的概念及表示
实部
虚部
虚数
知识点3
复数的分类
a＝0
全体复数构成的集合称为复数集，记作C．
显然R C．
思考1：(1)两个复数一定能比较大小吗？
(2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？
(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
知识点4
复数集
两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即：a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.
思考2：若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)且z1＝z2，则a－b的值为多少？
提示：因为z1＝z2，所以a＝1，b＝3，故a－b＝－2.
知识点5
两个复数相等
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． ( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数的相等． ( )
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的实部和虚部分别相等，则两个复数相等．
×
√
√
2．复数z＝a＋i(a∈R)的虚部为 ( )
A．1 B．i
C．－1 D．－i
[解析] 由复数的概念可知复数z＝a＋i(a∈R)的虚部为1．
A
B
4．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i为纯虚数，则实数a的值等于_____.
0
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________；
例 1
B
(3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
【对点练习】 给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是_____.
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．
③
题型二 复数的分类及其应用
例 2
题型三 复数相等的条件
已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
例 3
[归纳提升] 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．
【对点练习】 (1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为
( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
(2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为______.
C
－1
对复数相关概念的理解不清致误
易错警示
例 4
给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，则有x<0.其中正确命题的序号是_______.
[错解] (1)(2)(4)
[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案．
(4)
[归纳提升] 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立．例如：a＋bi＝0 a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件．
课堂检测 固双基
C
3．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为______.
－1
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于______.
－3
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
素养作业 提技能第五章 1.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2021·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2 B．1
C．2 D．1或－2
[解析] 由题意知：解得a＝－2，故选A．
2．设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( A )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[解析] 由题意知a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A．
3．(2021·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
4．(多选)有下列四个命题，其中正确的是( ABC )
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．
A．① B．②
C．③ D．④
[解析] 经逐一检验知①②③正确，④中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选ABC．
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( C )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
[解析] 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1，故选C．
6．z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数，若z1＝z2，则m的值为( B )
A．4 B．－1
C．6 D．0
[解析] 由题意可知m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，所以解得
所以m＝－1．
二、填空题
7．(2021·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝ 1 .
[解析] ∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴，解得a＝1．
故答案为1．
8．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是 2 .
[解析] ∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，
故a＝2.
9．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝ 2 ，n＝ ±2 .
[解析] 由复数相等的充要条件有
三、解答题
10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解析] (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1．
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
B 组·素养提升
一、选择题
1．在下列命题中，正确命题的个数是( A )
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误．设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误．③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误．故选A．
2．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为( A )
A．0 B．－1
C．－ D．
[解析] 由z1>z2，得
即解得a＝0.
3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( D )
A．－7≤λ≤ B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1 D．－≤λ≤7
[解析] 由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.
4．若复数z＝＋i(θ∈R)是纯虚数，则tan的值为( A )
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
[解析] 因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即
因为sin θ＝且cos θ≠，
所以cos θ＝－，所以tan θ＝－，
所以tan＝＝＝－7.
二、填空题
5．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为 4 .
[解析] ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴，解得：x＝4.
6．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于 3－i .
[解析] 由题意，n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i.
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析] 由题意，得
∴∴当m＝3时，原不等式成立．
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
[解析] 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
得得x＝－1，y＝2.
