(共41张PPT)
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.2 复数的几何意义
课程标准 核心素养
1．通过类比实数的几何意义来理解复数的几何意义． 2．理解复数的两种几何意义． 3．了解复数模的意义. 通过本节的学习，培养学生从数量与数量、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
思考1：有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
知识点1
复平面
基础知识
提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
一一对应
知识点2
复数的几何意义
一一对应
(a,b)
模
知识点3
复数的模
思考2：复数模的几何意义是什么？
提示：复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|
r表示圆的外部．
相等
知识点4
共轭复数
相反数
a－bi
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)复平面内的点与复数是一一对应的． ( )
(2)复数即为向量，反之，向量即为复数． ( )
(3)复数的模一定是正实数． ( )
(4)复数与向量一一对应． ( )
√
×
×
×
2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是 ( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
A
D
1－2i
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 复数与复平面内点的关系
已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上．
[分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围)．
例 1
[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围)．
【对点练习】 (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
B
题型二 复数与复平面内向量的关系
(1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ( )
A．4＋8i B．16＋6i
C．2＋4i D．8＋3i
例 2
C
A
－6－8i
题型三 复数的模
例 3
混淆复数的模与实数的绝对值致误
易错警示
例 4
已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是 ( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[错因分析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
A
[正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1．
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．
课堂检测 固双基
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是 ( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
B
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为
( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
A
A
D
5．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝i，求z1，z2的值．
素养作业 提技能第五章 1.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2021·海淀区二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则( C )
A．z＝－1＋i B．z＝1＋i
C．z＋i是实数 D．z＋i是纯虚数
[解析] ∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，
∴z＝1－i.
∴z＋i＝1－i＋i＝1，
∴z＋i是实数．
故选C．
2．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，故复数z＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
[解析] 复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
[解析] |z|2＝a2＋1，∵05．(2021·陕西三模)在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足( A )
A．－C．0[解析] ∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，
∴，解得－故选A．
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝ －2＋3i .
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．
∴z2＝－2＋3i.
7．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为 5 .
[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i| .
[解析] 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝
2.
∵2<5<，∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
三、解答题
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( C )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．
2．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( C )
A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i
[解析] 向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，
∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i，又＝，
∴对应复数为1＋i.故选C．
3．(2020·湖北孝感高二检测)若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( D )
A．0 B．2
C．5 D．1
[解析] 由题意，得
解得
∴a2＋b2＝1．
4．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是( ABD )
A．在复平面内，z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．在复平面内，z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A，B，D错误．故选ABD．
二、填空题
5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝ ＋4i .
[解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则，所以，
所以＝＋4i.
6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝ .
[解析] 因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4,3)，＝(2a，－3)．因为⊥，所以8a＝9，即a＝.
三、解答题
7．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
[解析] 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
8．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
[解析] 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝.
又a，b的夹角为60°，所以cos 60°
＝，
即＝，解得m＝±.