(共39张PPT)
第五章 复数
§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
课程标准 核心素养
1．复数代数形式的加、减运算法则． 2．复数代数形式的加、减运算律． 3．复数代数形式的加、减运算的几何意义. 通过本节的学习，培养学生建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(a－c)＋(b－d)i
知识点
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
基础知识
z1＋(z2＋z3)
思考：若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2
提示：不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则． ( )
(2)复数与复数相加减后结果为复数． ( )
(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义． ( )
√
√
√
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于 ( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[解析] (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
A
B
4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a＝______，b＝______.
－3
－4
5．设z1＝－6－2i，z2＝6－18i，其中i为虚数单位．若z＝z1＋z2，则z在复平面上对应点的坐标为___________.
[解析] z＝z1＋z2＝－6－2i＋6－18i＝－20i，
则z在复平面上对应点的坐标为(0，－20)．
(0，－20)
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 复数代数表示式的加、减法运算
(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝_____.
例 1
－2－i
[归纳提升] 复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
【对点练习】 (1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
(2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝_____.
－10i
3
题型二 复数加减法及复数模的几何意义
如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求
例 2
[分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[归纳提升] 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
【对点练习】 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
题型三 复数加法、减法几何意义的应用
例 3
A
【对点练习】 若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[错解] A
B
例 4
易错警示
【对点练习】 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的 ( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心．
A
课堂检测 固双基
1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有 ( )
A．a－c＝0且b－d≠0
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，因为z1－z2是纯虚数，所以a－c＝0且b－d≠0.
A
2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于 ( )
A．－2b－2bi B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi D．－2a－2ai
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
A
3．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2对应的点位于复平面内的 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，点(2,5)在第一象限．
A
素养作业 提技能第五章 2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．
2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( A )
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] z是纯虚数 x＝1，故选A．
3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝( B )
A．－1＋2i B．－2－2i
C．1＋2i D．1－2i
[解析] ＝(－2，－1)，＝(0,1)，
∴z1＝－2－i，z2＝i，
∴z1－z2＝－2－2i.
4．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
5．已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|＝( A )
A． B．3
C． D．
[解析] 1＋xi＝(2－y)－3i
则|x＋yi|＝.
6．(多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( BD )
A．z的虚部为i B．z的虚部为1
C．z＝－－i D．z＝＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
∴解得∴z＝＋i.
∴z的虚部为1．
二、填空题
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝ 5 .
[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.
8．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝ －1＋10i .
[解析] ∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
9．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝ 2±i .
[解析] 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或∴z＝2±i.
三、解答题
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( D )
A．－3 B．3
C．－3i D．3i
[解析] 设z＝x＋yi，x，y∈R，
则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，
所以又因为|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.
2．□ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( C )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．
3．(2021·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( C )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
[解析] 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得 a＝－2.
4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
二、填空题
5．(2020·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为 －4 .
[解析] 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4.
6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为 2 .
[解析] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
三、解答题
7．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)
＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以，解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝.
所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
8．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
[解析] 设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
