(共42张PPT)
第五章 复数
§2 复数的四则运算
2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
课程标准 核心素养
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法加法的分配律． 3．掌握共轭复数的性质. 通过本节的学习，培养学生建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
知识点1
复数代数形式的乘法法则
基础知识
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝_________
结合律 (z1·z2)·z3＝______________
乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝_____________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
知识点2
复数代数形式的除法法则
基础自测
×
×
A
－1
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 复数代数表示式的乘法运算
例 1
D
D
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[分析] 利用乘法公式进行运算．
[解析] (1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2.
故|z2－2z|＝|－2|＝2.
故选D．
B
[归纳提升] 两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1．
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
【对点练习】 (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i
(2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
D
C
[解析] (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C．
题型二 复数代数形式的除法运算
例 2
D
A
[分析] 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行．
B
－2＋i
题型三 实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
[分析] 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件．
例 3
[归纳提升] (1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．
(2)与在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了．
【对点练习】 (1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是 ( )
A．－3＋2i B．3＋2i
C．－2＋3i D．2＋3i
(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值．
A
误认为|z|2＝z2
易错警示
例 4
[错因分析] 本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2.
[方法点拨] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆．
【对点练习】 已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部 ( )
A．不小于0 B．不大于0
C．大于0 D．小于0
B
课堂检测 固双基
[解析] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1．
B
A
3．已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝ ( )
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
A
C
素养作业 提技能第五章 2.2、2.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2020·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，
∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( C )
A．0 B．1
C． D．2
[解析] 因为＝i，所以z＝，
所以z＋1＝＋1＝＝1－i，所以|z＋1|＝.
3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( C )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
4．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( C )
A．－2 B．4
C．－6 D．6
[解析] ∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.
5．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝( D )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[解析] 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D．
6．已知复数z满足z(3＋i)＝3＋i2 020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为( D )
A．－i B．－
C． D．
[解析] z＝＝＝＝.
所以＝＋i.
二、填空题
7．(2020·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋i)＝1，则|z|＝ .
[解析] ∵复数z满足z·(1＋i)＝1，
∴z(1＋i)(1－i)＝1－i，
化为4z＝1－i，
即z＝－i，
∴|z|＝＝.
故答案为.
8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝ .
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
9．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝ .
[解析] 将x＝1＋2i代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，
即(－3－m＋2n)＋(4－2m)i＝0.
由复数相等的充要条件，
得解得
故m＋n＝2＋＝.
三、解答题
10．计算：
(1)；
(2)；
(3)6＋.
[解析] (1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)6＋＝6＋＝i6＋i＝－1＋i.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若z＝4＋3i，则＝( D )
A．1 B．－1
C．＋i D．－i
[解析] |z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i.
2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C )
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．
[解析] A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i,1}．∴A∩B＝{－1,1}．故选C．
3．(2020·长安一中质检)设z＝＋i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( C )
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i＝6＝6.
4．(多选)设f(n)＝n＋n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有( ABC )
A．2 B．0
C．－2 D．1
[解析] f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0.所以集合中共有－2,0,2这3个元素．
二、填空题
5．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是 －2 .
[解析] (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.
6．(2020·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝ 1 .
[解析] 因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1．
三、解答题
7．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1．
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，
解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是.
(2)ω＝＝
＝＝－i.
因为a∈，b≠0.所以ω为纯虚数．
8．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，
即b＝－2.
又＝＝＝＋i为实数，
所以＝0，所以a＝－2b.
又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
(2)z1＝＋－i＝4＋＋i＝＋i.
因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得－2所以实数m的取值范围为∪.
