(共47张PPT)
第五章 复数
§3 复数的三角表示
课程标准 核心素养
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系． 2．会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角． 3．掌握复数三角形式的乘、除及乘方运算. 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，理解复数三角形式的乘、除、乘方运算，培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象、数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
复数的三角形式
基础知识
rcos θ
rsin θ
(2)复数的三角形式
任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，
其中r＝_______，cos θ＝_____，sin θ＝_____.
这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式．
当z＝r(cos θ＋isin θ)≠0时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差______的整数倍．
思考1：复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？
提示：复数三角形式中的θ不一定是辐角主值，三角形式不唯一．
2π
0≤θ<2π
知识点2
复数的相等
arg z
模
辐角的主值
任意的
思考2：两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？
提示：是．因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等．
将复数z1，z2分别用三角形式表示为z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)．
则：r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isinθ2)＝______________________ __________.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的_____，积的辐角等于它们的辐角的_____.
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin
知识点3
复数三角形式的乘法
(θ1＋θ2)]
积
和
思考3：三角形式下两个复数相等，积的辐角等于这两个复数的辐角的和，能将其中“辐角”换为“辐角主值”吗，即arg(z1z2)与argz1，argz2有怎样的关系？
提示：积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任取一个，求和角，所有和角组成的集合，即为积的辐角的集合，而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值和．arg(z1z2)＝argz1＋argz2＋2kπ，其中整数k使argz1＋argz2＋2kπ∈[0,2π)．
θ2
知识点4
复数乘法的几何意义
r2
复数z1，z2的乘积
思考4：由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何理解复数乘法的几何意义？
提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集合中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小．
模
知识点5
复数三角形式的除法
辐角
辐角
基础自测
×
×
×
×
√
2．复数－sin 50°＋icos50°的辐角主值为 ( )
A．50° B．320°
C．40° D．140°
[解析] 因为－sin 50°＋icos50°＝－cos 40°＋isin 40°
＝cos(180°－40°)＋isin(180°－40°)
＝cos 140°＋isin 140°.
所以复数－sin 50°＋icos 50°的辐角主值为140°.
D
3．把复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O点按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为 ( )
A．a－bi B．－a＋bi
C．b－ai D．－b＋ai
C
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 复数的代数形式化为三角形式
例 1
[归纳提升] 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求得复数的三角形式．
题型二 将复数的三角形式化为代数形式
例 2
[归纳提升] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A．
1－i
题型三 复数三角形式的乘法运算
例 3
2i
题型四 复数三角形式的除法运算
例 4
求辐角主值时的常见误区
易错警示
例 5
【对点练习】 求复数z＝1＋cos θ－isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
课堂检测 固双基
D
D
D
素养作业 提技能第五章 3
A 组·素养自测
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是( D )
A．r>0，θ∈[0,2π) B．r≥0，θ∈(0,2π)
C．r∈R，θ∈(－π，π) D．r≥0，θ∈[0,2π)
[解析] 由复数三角形式的特征知，r≥0,0≤θ<2π.故选D．
2．复数－2辐角的主值是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 解法1：∵－2
＝2，
∴辐角的主值为，故选C．
解法2：复数对应点在第三象限，
∴辐角主值是第三象限角．
3．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为( D )
A．2＋cos＋isin B．2
C．2 D．2
[解析] 因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝，
从而可知2i＝2.
4．复数－i的辐角主值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] ∵－i＝2
＝2，
又∵∈[0,2π)，故－i辐角的主值为.
5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是( B )
A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°
C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°
[解析] 令z＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式为z＝cos 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos 160°＋isin 160°，故选B．
6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是( C )
A．1 B．3
C．5 D．7
[解析] 因为z＝sin－icos＝cos－isin＝cos＋isin，
则＝cos＋isin，
所以＝cos＋isin＝zn＝cos＋isin，
由此得＝2kπ－(k∈Z)．
所以n＝6k－1，k∈Z，n∈N，故n的最小值为5.
二、填空题
7．设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为 2 .
[解析] 根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(－i)(cos 30°＋isin 30°)＝(－i)＝2.
8．计算下列式子，写出其结果的代数形式：
5·2＝ ＋i .
[解析] 5·2＝10＝10＝
＋i.
9．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝ ＋i .
[解析] (cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
三、解答题
10．把下列复数表示成三角形式．
(1)5；
(2)i；
(3)＋i；
(4)－1－i；
(5)3－3i；
(6)－4＋3i.
[解析] (1)5＝5(cos 0＋isin 0)．
(2)i＝cos＋isin.
(3)＋i＝cos＋isin.
(4)－1－i＝2＝2.
(5)3－3i＝6＝6.
(6)－4＋3i＝5＝5(cos θ＋isin θ).
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( AD )
A．z＝2
B．z＝2
C．z＝2
D．z＝2
[解析] z＝3＋i
＝2
＝2
＝2，
故选AD．
2．设复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，则
tan(α＋β)等于( D )
A． B．－
C．－1 D．1
[解析] 因为复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝1．
3．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是( B )
A．负实数
B．纯虚数
C．正实数
D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
[解析] 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，由于⊥，
所以＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
＝[cos(±90°)＋isin(±90°)]
＝±i，即为纯虚数．故选B．
4．设π<θ<，则复数的辐角主值为( B )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
[解析] ＝
＝cos 3θ＋isin 3θ.
∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，则辐角主值为3θ－2π.故选B．
二、填空题
5．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为，则实数a＝ －1 .
[解析] 由于复数z的辐角主值为，故z＝
r＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1．
6.＝ 2－2i .
[解析] ＝
＝4＝4＝2－2i.
三、解答题
7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.
[解析] 设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，z3＝cos γ＋isin γ，则由z2＋iz3－i＝0，
可得
利用cos2β＋sin2β＝1，解得
所以，z3＝.
当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1；
当z3＝时，
z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1．
8．计算的值．
[解析]
＝
＝
＝＝2
＝1＋i.
