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第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
课程标准 核心素养
1．了解平面的概念，掌握平面的画法． 2．理解空间几何体、多面体的概念，会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点) 3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算．(重点、难点) 通过本节的学习培养学生从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，提升数学抽象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等．
(2)平面
①平面的概念
平面是空间最基本的图形．平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象．平面是________的．
无限延展
知识点1
构成空间几何体的基本元素
基础知识
②平面的画法
一般地，用平行四边形表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成_______，横边长画成邻边长的______.
③平面的表示方法
平面通常用希腊字母α，β，γ等来表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面ABCD，还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示．如图中的平面AC．
45°
两倍
(1)多面体
由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的_____，两个相邻的面的公共边称为多面体的_____；棱与棱的公共点称为多面体的______.
(2)棱柱
①棱柱的定义：有两个面相互______，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体称为棱柱．
面
知识点2
简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
棱
顶点
平行
②相关概念：两个互相______的面称为棱柱的底面，简称底；其余各面称为棱柱的______；相邻侧面的公共边称为棱柱的______；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点；既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的_______.过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离OO1，称为点O1到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的_____.如图所示：
平行
侧面
侧棱
对角线
高
③棱柱的表示：棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点的
字母来表示，如图，棱柱可以表示为棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1，也可表示为棱柱AC1．
④棱柱的性质
(ⅰ)侧棱都相等；
(ⅱ)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
(ⅲ)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形．
⑤棱柱的分类
(ⅰ)侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．
(ⅱ)按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
⑥特殊的四棱柱
底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体(如图a，b，c，d)，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体(如图b，c，d)；底面是矩形的直平行六面体是长方体(如图c，d)；棱长都相等的长方体是正方体(如图d)．
思考1：棱柱的底面有什么关系？侧面有什么特点？
提示：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．
(3)棱锥
①棱锥的定义：由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是侧棱有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的几何体称为棱锥．如图：
多边形ABCDEF称为棱锥的底面，简称底；其余各面称为棱锥的侧面；各个侧面的公共点称为棱锥的顶点；相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱．顶点到底面的距离称为棱锥的高．
三角形
③特殊的棱锥
正棱锥：底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高，如图中的SM.
思考2：棱锥有什么性质呢？
提示：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似．
(4)棱台
①棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱，上底面、下底面之间的距离称为棱台的高．
②棱台的分类及表示：
棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示，如上图中的棱台表示为棱台ABC－A1B1C1．或者用它的对角线端点字母来表示，如棱台AC1．
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台……由正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高．
思考3：(1)棱台有什么特点呢？
(2)在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢？以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台． ( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．
( )
(3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体． ( )
×
×
×
[解析] (1)截面必须和底面平行，截面与底面之间的部分才叫棱台．
(2)有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体才叫棱锥．
(3)上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体．
2．下列说法中正确的是 ( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
[解析] 由棱柱的定义知，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，由这些面围成的几何体是棱柱，可判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．
A
3．(多选)下列集合间关系正确的是 ( )
A．{正方体} {长方体}
B．{长方体} {直平行六面体}
C．{正四棱柱} {长方体}
D．{直平行六面体} {正四棱柱}
ABC
[解析] 正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，
∴{正方体} {长方体}，A正确；
∵底面是矩形的直平行六面体是长方体，
∴{长方体} {直平行六面体}，B正确；
∵底面是正方形的长方体为正四棱柱，∴{正四棱柱} {长方体}，C正确；
∵正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，∴D错误．
4．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为_______.
5．如图所示，下列几何体中，________是棱柱，_____是棱锥，_____是棱台．
①②③④
⑥
⑤
[解析] 由棱柱、棱锥、棱台的定义知，①②③④符合棱柱的定义；⑥符合棱锥的定义；⑤符合棱台的定义．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 棱柱的结构特征
下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__________.
[分析] 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质．
例 1
(3)(4)
[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，
所以说法正确的序号是(3)(4)．
[归纳提升] 棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个底面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等．
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
【对点练习】 下列说法正确的是 ( )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
[解析] 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．
B
题型二 棱锥、棱台的结构特征
(1)下列说法正确的有_____个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②正棱锥的侧面是等边三角形．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
(2)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是_______.
例 2
0
①②③
[分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．
[解析] (1)①错误．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．
(2)①正确，棱台的侧面都是梯形．
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
④错误，如(右)图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
[归纳提升]
(1)棱柱、棱台、棱锥关系图
(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
①举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
②直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【对点练习】 下列说法正确的有 ( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A
[解析] 由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．
题型三 空间想象能力与几何体的侧面展开
如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
例 3
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
(1)都是多面体；
(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；
②中折痕交于一点，是棱锥；
③中侧面是梯形，是棱台．
[解析] ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台．如图所示．
[归纳提升] 多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
凭直观感觉判断几何体致误
易错警示
例 4
对如图1所示的几何体描述正确的是________(填序号)．
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．
①③④⑤
[错解] ①②③④⑤
[错因分析] 解答本题时，学生易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，从而错选②.
[正解] ①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体．
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点．
③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确，如图2(1)(2)所示．
[误区警示] 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断，如本例若意识不到棱台各侧棱延长后交于一点则会致错．
课堂检测 固双基
1．下面的几何体中是棱柱的有 ( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
[解析] 由棱柱的
结构特征知①②③④⑤
是棱柱．
C
2．下面图形中，为棱锥的是 ( )
A．①③ B．③④
C．①②④ D．①②
[解析] 由棱锥的定义得①②④是棱锥．③是一个面是四边形，其余各面是三角形，但它们没有公共顶点，所以它不是棱锥．
C
3．有两个面平行的多面体不可能是 ( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．长方体
[解析] 棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥．
B
4．一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是 ( )
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．正六边形
[解析] 画图得．
D
5．一个棱台至少有_____个面，面数最少的棱台有_____个顶点，有_____条棱．
[解析] 面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
5
6
9
素养作业 提技能第六章 6.1、6.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．棱柱的侧棱( C )
A．相交于一点
B．平行但不相等
C．平行且相等
D．可能平行也可能相交于一点
[解析] 棱柱的侧棱互相平行且相等，故选C．
2．斜四棱柱的侧面最多含有矩形的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 如图所示，在斜四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形．所以斜四棱柱的侧面最多有2个矩形．
3．下列说法正确的是( D )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
[解析] 一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( D )
[解析] A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D．
5．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( B )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
[解析] ①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B．
6．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( A )
[解析] 两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判断．
二、填空题
7．四棱锥的侧面个数是 4 .
[解析] 四棱锥有4个侧面．
8．若棱台上、下底面的对应边之比为1?2，则上、下底面积之比为 1?4 .
[解析] 棱台上、下两个底面是相似多边形，面积之比是相似比的平方，故上、下底面积之比为1?4.
9．下列说法正确的是 ①④ .
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
[解析] ①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．
三、解答题
10．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1．
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．
[解析] (1)是棱柱，并且是四棱柱．
(2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．
B 组·素养提升
一、选择题
1．下面说法正确的是( C )
A．棱锥的侧面不一定是三角形
B．棱柱的各侧棱长不一定相等
C．棱台的各侧棱延长必交于一点
D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台
[解析] 棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选C．
2．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1．
3．(多选)一个正方体的截面可能是( ABD )
A．等边三角形 B．正方形
C．正八边形 D．平行四边形
[解析] 一个正方体的截面可能是正三角形，正方形，平行四边形，边数最多是六边形不可能是正八边形，故选ABD．
4．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( A )
A．模块①②⑤ B．模块①③⑤
C．模块②④⑤ D．模块③④⑤
[解析] 先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①②补齐．
二、填空题
5．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为 4 .
[解析] 如图所示：四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个．
6．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为 ①② .(填序号)
[解析] 题图③④不能围成四面体，①②可以围成四面体．
三、解答题
7.如图所示，在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求在A，B之间的最短绳长．
[解析]
作出三棱锥的侧面展开图，如图A，B两点间的最短绳长就是线段AB的长度．
因为OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
所以AB＝5，即此绳在A，B之间的最短绳长为5.
8．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
[解析] (1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
