(共43张PPT)
第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
课程标准 核心素养
1．利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识球、柱、锥、台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．了解柱体、锥体、台体之间的关系. 通过实例的观察总结抽象出旋转面体的概念，并重点介绍了球、圆柱、圆锥和圆台四类几何体的相关概念及结构，通过本节的学习培养学生的空间想象素养和抽象概括素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球．
如图所示，半圆的圆心称为______，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的______，连接球面上两点并且 过球心的线段称为球的______.
球心
知识点1
球的结构特征
基础知识
半径
直径
2．表示方法：用表示它球心的字母来表示，图中的球可表示为球O.
3．球的性质：
(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的______.
(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是_____，其中过球心的平面截球面得到的________最大，等于球的半径．
思考1：球和球面一样吗？
提示：球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．
半径
圆
圆的半径
1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆柱．
在旋转轴上的这条边的长度称为圆柱的_____；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的______，平行于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的______，无论转到什么位置，这条
边都称为圆柱侧面的______.
高
知识点2
圆柱的结构特征
底面
侧面
母线
2．表示方法：用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱O1O.
思考2：圆柱的母线有什么特点？
提示：圆柱有无数条母线，所有的母线平行且相等，圆柱的母线也是圆柱的高．
1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥．在旋转轴上的这条边的长度称为圆锥的_____；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的______，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的______，无论转到什么位置，这条边都称为圆锥的______.
高
知识点3
圆锥的结构特征
底面
侧面
母线
2．表示方法：用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆锥SO.
思考3：圆锥的母线有什么特点，它是圆锥的高吗？
提示：圆锥有无数条母线，它们交于圆锥的顶点，母线不是圆锥的高，圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形．
1．定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台．在旋转轴上的这条边的长度称为圆台的_____；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的______，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆台的______，无论转到什么位置，这条边都称为圆台的______.
高
知识点4
圆台的结构特征
2．表示方法：用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆台O1O.
底面
侧面
母线
1．性质：
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；
(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．
思考4：圆台还可以由圆锥得到吗？
知识点5
圆柱、圆锥、圆台具有的性质和旋转体定义
提示：圆台可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．
2．旋转体的定义
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为_______，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．这条定直线叫作旋转体的轴．球面是旋转面，球、圆柱、圆锥、圆台都是旋转体．
旋转面
思考5：(1)旋转体最大的特点是什么？
(2)在运动变化的观点下，圆柱、圆锥、圆台有什么关系呢？
提示：(1)提示：旋转体不同于多面体，一定有一个面是曲面．
(2)
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥． ( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱． ( )
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球． ( )
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面． ( )
[解析] (1)直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周才得到圆锥，若是绕斜边所在的直线旋转一周会得到两个同底的圆锥扣在一起．
(2)当两个平行截面与底面平行时才是圆柱．
(3)应该是球面．
×
×
×
√
2．下列几何体中不是旋转体的是 ( )
D
[解析] 根据旋转体的概念可知A，B，C中三个几何体均为旋转体，D中几何体为多面体．
3．圆台的母线 ( )
A．不相等
B．平行
C．延长后交于一点
D．仅有一条
[解析] 圆台可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的，故圆台的母线延长后交于一点．
C
4．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为______.
r2
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 旋转体的结构特征
(1)给出下列命题：
①用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是______(只填序号)．
例 1
②④
(2)下列命题正确的是______(只填序号)．
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
③球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
④球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．
②④
[解析] (1)①错．只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台；②正确．③错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
④由圆柱的定义可知正确．
(2)①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；②正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故③错误；根据球的半径定义，知④正确．
[归纳提升] 由简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意两个明确；
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
【对点练习】 下列结论：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线．其中正确的是 ( )
A．① B．②
C．①② D．②③
[解析] 过两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错；根据母线的定义和特点，③错误；②正确，故选B．
B
题型二 旋转体的侧面展开问题
例 2
[分析] 绳子沿圆柱侧面由A到C且最短，故侧面展开后为A、C两点间的线段长．
[归纳提升] 求多面体表面上两点间的最短距离的思路
将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法．立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决．具体步骤如下：
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．
【对点练习】 如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)
题型三 球的截面问题
已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．
例 3
[解析] 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则
【对点练习】 用一个平面截半径为5 cm的球，球心到截面距离为4 cm，求截面圆的面积．
过球面上两点，可作球的大圆的个数 ( )
A．有且只有一个 B．1个或无数个
C．无数个 D．不存在这种大圆
[错解] A
[辨析] 若两点连线恰为球的直径，则可作无数个大圆；若两点连线不是直径，则可作一个大圆．
[正解] B
易错警示
例 4
B
课堂检测 固双基
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．① B．①和④
C．①和⑤ D．③和④
[解析] ①④是旋转体，②③⑤是多面体，故选B．
B
2.如图所示的组合体，其结构特征是 ( )
A．两个圆锥
B．两个圆柱
C．一个棱锥和一个棱柱
D．一个圆锥和一个圆柱
[解析] 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体．
D
3．圆柱的母线长为10，则其高等于 ( )
A．5 B．10
C．20 D．不确定
[解析] 圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.
B
4．关于圆台，下列说法正确的是_______.
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高．
[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．
②③④
5．已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝_____.
3
素养作业 提技能第六章 6.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( D )
A．圆锥 B．圆柱
C．球 D．棱柱
[解析] 棱柱的任何截面都不可能是圆面．
2．(多选)下列命题中正确的是( CD )
A．矩形绕任何一条直线旋转都可以围成圆柱
B．圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线
C．圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
D．矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱
[解析] 在A中，绕矩形的一条对角线旋转形成的几何体是有公共底面的两个圆锥的组合体，不是圆柱，故A错误；在B中，圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故B错误；在C中，圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线，故C正确；在D中，由旋转的性质得矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱，故D正确．故选CD．
3．如图所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？( A )
[解析] 因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C，故选A．
4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( D )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
[解析] 圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．
5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( B )
A．10 B．20
C．40 D．15
[解析] 圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.
6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1?2，则此圆锥的高被分成的两段之比为( D )
A．1?2 B．1?4
C．1?(＋1) D．1?(－1)
[解析] 两个圆锥的高之比为1?，故两段之比为1?(－1)．故选D．
二、填空题
7．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于 5 .
[解析] 因为圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，设底面半径为r，则高为r，所以＝5.所以r＝5.
8．一个圆锥被截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1?4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为 9_cm .
[解析] 如图所示，设圆台的母线长为x cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9.
9．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为 2 .
[解析] 设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1．设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
三、解答题
10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
[解析] 如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．
SA＝＝＝(cm)．
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．
所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列结论，其中正确结论的个数是( C )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个(注：轴截面是指过旋转轴的截面)；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C．
2．(2021·浙江宁波高一月考)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( D )
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥
[解析] 如图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．故选D．
3．如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为( C )
A．4?5 B．3?4
C．1?2 D．1?4
[解析] 设赤道所在圆的半径为R，北纬60°所在圆的半径为r，由纬度定义可知，cos 60°＝＝.故所求比值即为两个圆半径之比值1?2.
4．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为( B )
A．10 cm B． cm
C．5 cm D．5 cm
[解析] 如图(1)所示，四边形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm.
设圆柱的底面圆半径为r，则r＝ (cm)，
所以底面圆的周长为l＝2πr＝5π(cm)．
将圆柱沿母线AD剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示，则从A到C的最短距离即为图(2)中AC的长．
由于AB＝＝(cm)，BC＝AD＝5(cm)，
所以AC＝＝(cm)．故选B．
二、填空题
5．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是 圆锥 ，母线长l＝ 5 .
[解析] 所得几何体是圆锥，
母线长l＝AC＝＝＝5.
6．已知球的外切圆台上、下底面半径分别为r，R，则圆台的高为 2 ，球的半径为 .
[解析] 圆台的轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R＋r，梯形的高即球的直径，即＝2，球的半径为.
三、解答题
7．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析] (1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于点M，连接O1O.
由已知可得上底面圆半径O1A＝2 cm, 下底面圆半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，所以AM＝＝3(cm)，即圆台的高为3 cm.
(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
所以l＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
8．如图所示，圆锥底面圆的半径OA＝6，轴截面的顶角∠ASB是直角，过两条母线的截面SCB截去底面圆周的，求截面的面积．
题图 答图
[解析] 由题意知，轴截面顶角∠ASB＝90°，OA＝6，
∴SA＝SB＝SC＝6.如图，连接OB，OC，作SD⊥BC于D．
∵弧BC的长为底面圆周长的，
∴∠BOC＝×360°＝60°.
∴OB＝OC＝BC＝6.
∴SD＝＝＝3.
∴S△SCB＝×6×3＝9.
∴截面面积为9.
