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第六章 立体几何初步
§2 直观图
课程标准 核心素养
1．掌握斜二测画法的步骤． 2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 通过本节的学习，提升学生数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝_______，它们确定的平面表示水平面．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段，长度为原来的______.
45°
知识点1
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
基础知识
不变
一半
思考1：斜二测画法中“斜”“二测”怎样理解？
提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
其规则是：
(1)在空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOx＝90°.
(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或x轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度为原来的______.
不变
知识点2
用斜二测画法画空间图形的直观图
一半
思考2：在直观图中有哪些“变”的量与“不变”的量？
提示：(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变. ( )
(2)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
( )
(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，相等的角在直观图中仍相等. ( )
(4)用斜二测画法画空间几何体的直观图时，平行于z轴的线段在直观图中平行于z′轴且保持原长度不变． ( )
×
×
×
√
[解析] (1)平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变．
(2)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，相等的角在直观图中可能会不相等，如同样是直角，可能一个是45°，一个是135°.
2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′轴，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为 ( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
[解析] 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时横轴与竖轴的夹角，所以为90°.
D
3．如图所示，直观图表示的平面图形是 ( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
[解析] 由图形A′B′与B′C′分别平行于y′轴与x′轴，故直观图表示的平面图形是直角三角形．
C
4．利用斜二测画法画出边长为3 cm正方形的直观图，正确的是图中的 ( )
[解析] 正方形的直观图是一内角为45°的平行四边形，且相邻两边的边长之比为2?1．
C
5．水平放置的矩形ABCD长为4，宽为2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为______.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 画平面图形的直观图
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的△OAB的直观图．
例 1
[分析] 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤来画其直观图．
(4)连接O′B′，A′B′，去掉辅助线，得到△O′A′B′，即水平放置的平面图形△OAB的直观图，如图3所示．
[归纳提升] 画平面图形直观图的关键
1．在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系．
2．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定．
【对点练习】 如图所示，△ABC中BC＝8cm，BC边上的高AD＝6cm，试用斜二测画法画出其直观图．
[解析] (1)在三角形ABC中建立如图1所示的直角坐标系xOy，再建立如图2所示的直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
题型二 空间图形的直观图
画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)．
[思路分析] 解答本题时可先画出上、下底面正三角形的直观图，再画出整个正三棱台的直观图．
例 2
[归纳提升] 1．用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了正三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了．
2．若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)．
【对点练习】 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
题型三 直观图的还原与计算
例 3
D
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为_______.
[解析] (1)如图①，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
【对点练习】 水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为_____.
对斜二测画法理解不透，导致判断错误．
易错警示
例 4
[错解] ∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′
[错因分析] 错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关．
[正解] 如图2所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点．在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形．用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.
课堂检测 固双基
1．下列关于直观图的说法不正确的是 ( )
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成135°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
[解析] 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．
A
2．下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是 ( )
A．正三角形的直观图是正三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．矩形的直观图是矩形
D．圆的直观图是圆
[解析] 直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以A、C、D都不正确，故选B．
B
3．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成 ( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
[解析] 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
A
二、填空题
4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，且A′B′＝2，B′C′＝3，则△ABC中，AC＝_____.
5
5.如图所示，四边形A′B′C′D′是一个水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD的形状是________.
直角梯形
[解析] 根据直观图可知，A′B′，C′D′均与x′轴平行且A′B′≠C′D′，A′D′与y′轴平行，所以在平面图形中，AB∥CD，AB≠CD，AB⊥AD，AD⊥CD，故平面图形ABCD是一个直角梯形．
素养作业 提技能第六章 6.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选)关于直观图画法的说法中，正确的是( ACD )
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，其长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于45°
D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同
[解析] 由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y′轴，长度为原来的一半．只有B错误．
2. 下列说法正确的是( D )
A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
[解析] 选项A错，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂直的两条直线的直观图夹角为45°或135°；选项D正确．
3．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则( C )
A．A′B′＝2C′D′ B．A′B′＝C′D′
C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝C′D′
[解析] ∵AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.
4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( C )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
[解析] 将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示．由题意知O′D′＝O′C′＝2 cm，
OD＝2O′D′＝4 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm，
OC＝＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm＝OC，
∴原图形为菱形．
5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( A )
[解析] 由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．
6.如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( C )
A．1 B．
C．2 D．4
[解析] 由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝OB·OA＝2，故选C．
二、填空题
7．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为 正方形 .
[解析] 因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法的规则知∠DAB＝90°，
又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形，且A′B′＝2B′C′，
所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．
8.如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是 10 .
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10.
9．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为 10 .
[解析] 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
三、解答题
10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D的面积为×(1＋2)×＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( C )
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，∴②③错．
2．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( C )
[解析] 按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．
3．已知正三角形ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图2中△A′B′C′所示．
易知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝OC＝.过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
4．(多选)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中以下说法正确的是( ACD )
A．△ABC是直角三角形
B．AC长为6
C．BC长为8
D．AB边上的中线长为
[解析] 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选ACD．
二、填空题
5.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 AC .
[解析] 画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．
6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 8 cm，面积是 2 cm2.
[解析] 如图，OA＝1 cm，
在Rt△OAB中OB＝2 cm，
所以AB＝＝3(cm)．
所以四边形OABC的周长为8 cm.面积是2 cm2.
三、解答题
7．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
[解析] (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝ cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm；再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
8．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为a2，求△ABC的周长．
[解析] 图△ABC是△A′B′C′的原图形，设△ABC的边长为x，由斜二测画法知：A′B′＝AB＝x，O′C′＝OC＝x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
∵∠C′O′D′＝45°，
∴C′D′＝O′C′＝×x＝x，
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝x×x＝x2.
∴x2＝a2，∴x＝2a，
∴△ABC周长为3×2a＝6a.
