第六章 3.1 3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，下列符号表示错误的是( A )
A．l∈α B．Pl
C．l α D．P∈α
[解析] 观察图知：Pl，P∈α，l α，则l∈α是错误的．
2．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A α，B α，∴AB α；
②∵A∈α，Bα，∴ABα；
③∵Aa，a α，∴Aα；
④∵A∈a，a α，∴A∈α.
其中表述方式和推理都正确的结论的序号是( C )
A．①④ B．②③
C．④ D．③
[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为ABα；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．
3．(多选)空间不共线的四点，可以确定平面的个数可能是( BD )
A．0 B．1
C．2 D．4
[解析] 若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4.故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个．故选BD．
4．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且Cl，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于 ( C )
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．以上都不对
[解析] 由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.
5．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( B )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
[解析] 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
6．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( D )
[解析] 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D．
二、填空题
7．平面α，β的公共点多于两个则
①α，β平行；
②α，β至少有一条公共直线；
③α，β至少有三个公共点；
④α，β至多有一条公共直线．
以上四个判断中成立的是 ②③ .
[解析] 由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．
8．看图填空：
(1)AC∩BD＝ O ；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝ A1B1 ；
(3)平面A1C1CA∩平面AC＝ AC ；
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ OO1 .
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是 (2)(3)(4) (填序号)．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内．
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．
(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1．
(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．
[解析] (1)错误．如图所示，点A平面CC1B1B，所以直线AC1平面CC1B1B．
(2)正确．如图所示．
因为O∈直线AC 平面AA1C1C，O∈直线BD 平面BB1D1D，O1∈直线A1C1 平面AA1C1C，O1∈直线B1D1 平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．
(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以A，B1，C1，D共面．
三、解答题
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．
[解析] 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，
因为D1F与DA不平行，
因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD．
又因为D1F 平面BED1F，DA 平面ACD，
所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．
所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．
B 组·素养提升
一、选择题
1．空间中四点可确定的平面有( D )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
[解析] 当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．
2．(多选)设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个结论，其中正确的结论是( CD )
A．P∈a，P∈α a α
B．a∩b＝P，b β a β
C．a∥b，a α，P∈b，P∈α b α
D．α∩β＝b，P∈α，P∈β P∈b
[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但aα，
∴A错；
a∩β＝P时，B错；如图∵a∥b，P∈b，∴Pa，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b α，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确，故选CD．
3．经过同一直线上的3个点的平面( C )
A．有且只有1个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．只有0个
[解析] 因3个点在同一条直线，所以经过该直线的平面都满足条件，故选C．
4．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( ABC )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
[解析] 连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A 1的交线上，即C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，D不正确．
二、填空题
5．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是 共线 .
[解析] ∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．
6．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是 0 .
[解析] 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.
三、解答题
7.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l的位置；
(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．
[解析] (1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．
(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，
∴AD＝A1E＝A1D1＝a.
∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，
于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[解析] (1)分别连接EF，A1B，D1C，
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B且EF＝A1B．
又∵A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．
EF与CD1确定一个平面．
∴E，F，D1，C四点共面．
(2)∵EF綊CD1，
∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，
∵D1F 平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．
又CE 平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，
∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE，D1F，DA三线共点．(共49张PPT)
第六章 立体几何初步
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1,2,3)
课程标准 核心素养
1．借助日常生活中的实物，认识空间图形的基本位置关系． 2．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实、三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用. 通过本节的学习，培养学生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
点与直线、平面的位置
基础知识
知识点2
直线与直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有______公共点
不相交 两直线没有公共点
一个
知识点3
直线与平面的位置关系
0
知识点4
两个平面的位置关系
无数
有且只有
知识点5
平面的基本性质及作用
两点
l α
过该点的公共直线
推论1：一条直线和该直线外______确定一个平面；
推论2：两条______直线确定一个平面；
推论3：两条______直线确定一个平面．
基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据．
一点
知识点6
基本事实1与2的三个推论
相交
平行
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)三角形一定是平面图形． ( )
(2)直线l与平面α有且只有两个公共点． ( )
(3)若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合． ( )
(4)四条边都相等的四边形是平面图形． ( )
√
×
×
×
[解析] (2)一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只有2个公共点．(3)当A，B，C，D共线时，这四个点都在这两个平面的交线上，两平面不重合．(4)也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形．
2．若一直线a在平面α内，则正确的图形是 ( )
A
[解析] 画直线在平面内时，所画直线不能超出表示平面的平行四边形．
3．下列说法正确的是 ( )
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
[解析] A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，一条直线和这条直线外一点可确定一个平面；C错误，四边形不一定是平面图形；D正确，两条相交直线可以确定一个平面．
D
4．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是 ( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由基本事实3知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A写法错误．
C
5．空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可以确定平面的个数为_______.
[解析] 三条直线在同一平面内时确定一个平面，三条直线不在同一个平面内时确定三个平面．
1或3
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 三种语言的相互转化
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC．
例 1
【对点练习】 (1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为__________________；
M∈a，a α，M∈α
(2)根据右图，填入相应的符号：A_____平面ABC，A_______平面BCD，BD_______平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝______；
(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC．
∈
AC
[解析] (3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝
PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．
图形表示：如图所示．
题型二 点共线问题
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
例 2
[分析] (1)P，Q，R三点分别在哪几个平面上？
(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？
[解析] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC．
∴由公理3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC 面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
[归纳提升] 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【对点练习】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．
[解析] 由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C．
∵A1C 平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C．
又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D．
∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上．
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C．
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，
∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．
题型三 线共面问题
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
例 3
[证明] 如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l α.即过a，b，l有且只有一个平面．
[归纳提升] 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
【对点练习】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
题型四 线共点问题
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF?FC＝DG?GA＝1?2.
例 4
求证：直线EF、BD、HG交于一点．
[分析] 先证EF、HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上．
[归纳提升] 三线共点的证明方法：
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
【对点练习】 三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点．
[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ，
∵a、b不平行，
∴a、b必相交，设a∩b＝P，
∵P∈a，a β，
∴P∈β，同理P∈α，
而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，
即a、b、c三条直线过同一点．
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
易错警示
例 5
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
[错解] 因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．
[错因分析] 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线．
[正解] (1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．
(2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则
A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.
课堂检测 固双基
1．在下列各种面中不能被认为是平面的一部分的是 ( )
A．黑板面 B．乒乓球桌面
C．篮球的表面 D．平静的水面
[解析] 篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．
玉
2．如图表示两个相交平面，其中画法正确的是 ( )
玉
[解析] 对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实虚线也没有按照规则去画，同样的道理，也可知B、C图形的画法不正确．
3．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．
[解析] 当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；
当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．
玉
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有_____条．
玉
[解析] 由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．
5．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一条直线．
[解析] 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC．
因为AD∩α＝H，所以H∈平面AC，H∈α，由基本事实3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，E都在平面AC与平面α的交线上，
因此E，F，G，H必在同一条直线上．
素养作业 提技能
