第六章 3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．异面直线是指( D )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( B )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
[解析] 设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．
3．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于( D )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
[解析] 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.
4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
[解析] 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
5．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( D )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
[解析] 如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．
6．异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( D )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
[解析] 若c与a，b都不相交，∵c与a都在α内，
∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本事实4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
二、填空题
7．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为 异面或相交 .
[解析] 假设l∥b，又l∥a，根据基本事实4，可得a∥b，这与a与b异面直线相矛盾，故假设不成立，所以l与b异面或相交．
8．(2021·广东省肇庆市期中)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为 60° .
[解析] 依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
以上结论正确的为 ①③ .(填序号)
[解析] 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
[解析] (1)因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，
因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，
又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列说法中正确的是( B )
A．若两直线无公共点，则两直线平行
B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
[解析] 对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．
2．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果图示面为里面，将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )
A．AB与CD B．AB与GH
C．EF与GH D．EF与CD
题图 答图
[解析] 将平面图形还原成正方体后如图所示，其中AB与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
[解析] 如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A．
4．空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD，BC所成的角为( C )
A．45° B．120°
C．60° D．60°或120°
[解析] 取AC的中点G，连接EG，FG.
由三角形中位线可知，EG綊BC，FG綊AD，所以∠EGF或其补角即为异面直线AD与BC所成的角．
在△EGF中，cos∠EGF＝＝＝－.
所以∠EGF＝120°.由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.故选C．
二、填空题
5．在四棱锥P－ABCD中E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝ 2 .
[解析] 由题意知EF綊AC，GH綊AC，
故EF綊GH，故GH＝2.
6．如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值是 ，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是 .
[解析] 因为AA1∥DD1，所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，
在Rt△D1DB中，sin∠DD1B＝＝＝.
因为AD∥BC，所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，
连接D1C，在△D1BC中，
因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，所以D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2，
所以∠D1CB＝90°，
所以sin∠D1BC＝＝＝，
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
求证：(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠D1EA1．
[解析] (1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM＝A1B1，EM∥A1B1．
因为A1B1＝C1D1且A1B1∥C1D1，所以EM＝C1D1且EM∥C1D1．
所以四边EMC1D1为平行四边形．
所以D1E∥C1M，
在矩形BCC1B1中，易知MB＝C1F，且MB∥C1F，
所以四边形C1FBM为平行四边形，所以C1M∥BF，所以D1E∥BF.所以D1E∥BF.
(2)由(1)知，ED1∥BF，BB1∥EA1，
因为∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠D1EA1．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
[解析] 如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E.连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.(共50张PPT)
第六章 立体几何初步
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
(基本事实4、定理)
课程标准 核心素养
1．了解基本事实4和等角定理． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行、异面的位置关系． 3．会求异面直线所成的角. 通过本节的学习，培养学生利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
平行于
知识点1
基本事实4
基础知识
(1)异面直线的定义和理解
①定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线．
②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．
(2)异面直线的表示
为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图：
知识点2
异面直线
思考1：没有公共点的两条直线一定是平行直线吗？
提示：没有公共点的两条直线也可能是异面直线．
思考2：异面直线就是在两个不同平面里的两条直线，这种说法正确吗？
定理：如果空间中两个角的两条边分别________，那么这两个角相等或互补．
思考3：当两个角的两边分别对应平行，这两个角什么时候相等，什么时候互补呢？
对应平行
知识点3
等角定理
提示：如图：
①两个角的两条边分别平行，并且方向相同(如图1)时，两个角相等；
②两个角的两条边分别平行，并且方向相反(如图2)时，两个角相等；
③两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反(如图3)时，两个角互补．
如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的__________的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)．
若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条直线________，记作a⊥b.
不大于90°
知识点4
异面直线所成的角
互相垂直
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行． ( )
(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行． ( )
(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． ( )
(4)两条异面直线一定在两个不同的平面内． ( )
(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．
( )
×
×
√
√
×
[解析] (1)垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面．(2)分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面．(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c可能是异面直线，也可能共面．
2．直线a与平面α平行，直线b α，则a与b的位置关系是
( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
[解析] ∵a∥α，∴a与α无公共点，
又∵b α，∴a与b无公共点，
∴a∥b或a与b异面．
D
3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是_______.
[解析] 连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．
因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
45°
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE?EB＝AF?FC，则EF与B1C1的位置关系是______.
平行
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 直线与直线位置关系的判断
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
例 1
平行
异面
相交
异面
[解析] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C．
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
【对点练习】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
C
题型二 基本事实4的应用
如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
例 2
[归纳提升] 证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
【对点练习】 如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．
[解析] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，
题型三 等角定理的应用
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点．求证：
例 3
【对点练习】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
题型四 异面直线所成的角
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
例 4
因为AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
[归纳提升] 求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
【对点练习】 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角．
[解析] 连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：
根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)．因为BC1＝A1C1＝A1B，所以△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°.
课堂检测 固双基
1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b ( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
[解析] 直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面．
D
2．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有 ( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
[解析] EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1．
B
A
A
5．如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是______.
[解析] ①中GH与MN平行，③中GM∥HN, 所以GH与MN共面，②④中GH与MN为异面直线．
②④
素养作业 提技能
