第六章 4.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若l∥α，m α，则l与m的关系是( D )
A．l∥m B．l与m异面
C．l与m相交 D．l与m无公共点
[解析] l与α无公共点，∴l与m无公共点．
2．下列结论：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确结论的个数为( B )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE?EB＝AF?FD＝1?4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( B )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
[解析] 由AE?EB＝AF?FD＝1?4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF平面BCD，BD 平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，
∴HG∥BD且HG＝BD，
∴EF∥HG且EF≠HG，故选B．
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( A )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
[解析] 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB．
5．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( BCD )
[解析] B选项中，AB∥MQ，且AB平面MNQ，MQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB平面MNQ，MQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB平面MNQ，NQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选BCD．
6.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G、H分别为SB、BD上的点，若GH∥平面SCD，则( B )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
[解析] ∵GH∥平面SCD，GH 平面SBD，
平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD．
二、填空题
7．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是 平行 .
[解析] ∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN平面ADE，DE 平面ADE，∴MN∥平面ADE.
8．已知直线b，平面α，有以下条件：
①b与α内一条直线平行；
②b与α内所有直线都没有公共点；
③b与α无公共点；
④b不在α内，且与α内的一条直线平行．
其中能推出b∥α的条件有 ②③④ .(把你认为正确的序号都填上)
[解析] ①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是 平行 .
[解析]
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC 平面ABCD，
∴AC∥平面A1B1C1D1．
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，
∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1．
[解析] 如图所示，连接SB．
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB．
又∵SB 平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1．
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( B )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
[解析] ∵EF 平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC．
2．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列结论：
① m∥β；② n∥β；③ m，n异面．
其中错误的结论有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点．
又∵m α，∴m与β没有公共点，
∴m∥β，故①正确，②③错误．
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( B )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
[解析] ∵在□AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，
∴AM綊BN，∴MN綊AB．又MN平面ABC，AB 平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．
二、填空题
4.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE?EB＝ m?n .
[解析] ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.
同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，
∴AE?EB＝m?n.
5.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件 P是CC1中点(答案不唯一) 时，A1P∥平面BCD．
[解析] 如图，取CC1中点P，连接A1P.∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P是CC1中点时，A1P∥CD．
∵A1P平面BCD，CD 平面BCD，
∴A1P∥平面BCD．
三、解答题
6．如图，在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
[证明]
如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD．
因为OH 平面FGH，BD平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
7．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C．
[解析] 由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D．
又A1D 平面A1DFE，B1C平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C 平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．(共46张PPT)
第六章 立体几何初步
§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
课程标准 核心素养
1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线与平面平行的位置关系． 2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系. 通过本节的学习，培养学生掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行．
符号表示：l∥α，l β，α∩β＝a l∥a.
图形表示：
交线
知识点1
直线与平面平行的性质定理
基础知识
思考1：“线线平行”是“线面平行”的什么条件呢？
提示：“线面平行”的性质定理推出了“线线平行”，所以“线线平行”是“线面平行”的必要条件．
平行
知识点2
直线与平面平行的判定定理
思考2：由“线线平行”判定了“线面平行”，那么“线线平行”是“线面平行”的什么条件？
提示：由“线线平行”判定了“线面平行”，即“线线平行”是“线面平行”的充分条件．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ( )
(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α. ( )
(3)若直线a∥b，直线b α，则a∥α. ( )
(4)直线l∥平面α，直线a 平面α，直线l与直线a一定平行． ( )
×
×
×
×
[解析] (1)也有可能这条直线在这个平面内．
(2)直线在平面内也可以和平面内的无数条直线平行．
(3)直线a必须在平面外．
(4)直线l与直线a可能平行也可能异面．
A
3．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c…，那么这些交线的位置关系为 ( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
[解析] 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A．
A
4．若直线a∥平面α，a β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是______.
平行
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 线面平行判定定理的理解
如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是 ( )
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
[解析] 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
例 1
D
【对点练习】 下列说法正确的是 ( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝ ，直线b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
[解析] A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D．
D
题型二 直线与平面平行的判定
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
例 2
[证明] 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1．
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
[归纳提升] 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
【对点练习】 (1)在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_________________.
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
平面ABD、平面ABC
求证：MN∥平面PAD．
题型三 线面平行性质定理的应用
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
例 3
[分析] 根据线面平行的性质定理，要证AP∥GH，只需证AP∥平面BDM，只需证AP与平面BDM中的某一条直线平行．
[归纳提升] (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
【对点练习】 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
忽视定理的必备条件
易错警示
例 4
【对点练习】 b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是 ( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的任何一条直线都不相交
[解析] ∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．
D
课堂检测 固双基
1．三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是
( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
B
A
3．点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是 ( )
A．平行
B．相交
C．MN 平面PCB1
D．以上三种情形都有可能
A
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为______.
平行
5．如图，三棱柱ABC－A′B′C′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
素养作业 提技能
