第六章 4.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是( A )
A．AC∥截面BA1C1
B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内
D．以上答案都错误
[解析] ∵AC∥A1C1，又∵AC面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1．
2．已知直线l、m，平面α、β，下列结论正确的是( D )
A．l∥β，l α α∥β
B．l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
[解析] 如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB 平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF 平面BC1，B1C1 平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD 平面AC，B1C1 平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
3.如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( B )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
[解析] ∵A1B1∥AB，AB 平面ABC，A1B1平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC．
又A1B1 平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，
∴DE∥A1B1．
又AB∥A1B1，∴DE∥AB．
4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( C )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
[解析] 如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形，∴应选C．
5．(多选)下列选项，正确的是( CD )
A．若a α，b β，a∥b，则α∥β
B．c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β
C．若a α，b β，α∥β，则a、b无交点
D．若a α，α∥β，则a∥β
[解析] AB中的α、β可能平行也可能相交；CD正确．
6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′?AA′＝2?3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( D )
A．2?5 B．3?8
C．4?9 D．4?25
[解析] ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB．又∵PA′?AA′＝2?3，
∴A′B′?AB＝PA′?PA＝2?5.同理B′C′?BC＝A′C′?AC＝2?5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′?S△ABC＝4?25.
二、填空题
7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是 平行 (填“平行”或“相交”)．
[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝ .
[解析] ∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝AC，即＝.
9.如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝ .
[解析] ∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，
∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝，则EG＝＝＝.
三、解答题
10.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.
[解析] 因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
B 组·素养提升
一、选择题
1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个结论．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥γ，b∥γ a∥b；
③α∥c，β∥c α∥β；④α∥γ，β∥γ α∥β；
⑤α∥c，a∥c α∥a；⑥a∥γ，α∥γ α∥a.
其中正确的结论是( C )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
[解析] ①平行公理．
②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．
③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．
④面面平行传递性．
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．
2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( B )
A． B．
C． D．
[解析]
如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为(＋2)×＝.
3.已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是( D )
A．0 B．2
C．4 D．6
[解析] 连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG 平面EFGH，EH 平面EFGH，AB′ 平面AB′D′，AD′ 平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D．
4．(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确的是( ABC )
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD
D．平面PAD∥平面PAB
[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD．同理平面BC∥PAD．故选ABC．
二、填空题
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 点M在FH上 时，有MN∥平面B1BDD1．
[解析] ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
又平面FHN∩平面EFGH＝FH，
∴当M∈FH时，MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．
6．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝ 1 ，ED与AF相交于点H，则GH＝ .
[解析] 因为ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，且AB＝CD．
又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，
所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1．因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝.
三、解答题
7．如图所示，P为□ABCD所在平面外一点，点M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论．
[解析] (1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD．又因为AD 平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
(2)MN∥平面PAD．
证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE、AE，所以NE∥CD，NE＝CD．
而CD綊AB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，
所以MN∥AE.又AE 平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD．
8.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．
求证：直线EE1∥平面FCC1．
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC平面ADD1A1，
AD 平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1平面ADD1A1，
DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1．
又EE1 平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．(共44张PPT)
第六章 立体几何初步
§4 平行关系
4.2 平面与平面平行
课程标准 核心素养
1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面平行的位置关系． 2．掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平行的位置关系. 通过本节的学习，培养学生学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
文字叙述：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条交线平行．
符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
图形表示：
相交
知识点1
平面与平面平行的性质定理
基础知识
作用：证明两直线平行．
思考1：两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面什么关系呢？
提示：平行．
文字叙述：如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
符号表示：
a α，b α，a∩b＝A，a∥β，b∥β α∥β.
图形表示：
相交直线
知识点2
平面与平面平行的判定定理
作用：证明平面与平面平行．
思考2：“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的什么条件？
提示：不共线的三点有可能不在平面β同一侧，所以应该是“必要不充分”条件．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行． ( )
(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． ( )
(3)若α∥β，β∥γ，则α∥γ. ( )
(4)若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m. ( )
(5)夹在两平行平面间的平行线段相等． ( )
[解析] (1)这无数条直线相互平行时，这两个平面可能相交．(3)平面的平行具有传递性．(4)这两条直线可能平行也可能异面．
×
√
√
×
√
2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上都不对
C
3．已知直线a，b和平面α，β，则下列结论正确的是 ( )
A．若a∥β，α∥β，则a∥α
B．若α∥β，a α，则a∥β
C．若α∥β，a α，b β，则a∥b
D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
[解析] 选项A中a可能在α内，选项C中a，b可能异面，选项D中a，b可能异面或相交，选项B中，α∥β，a α，则a与β无公共点，∴a∥β.
B
4．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则 ( )
A．l∥β B．l β
C．l∥β或l β D．l，β相交
[解析] 假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l β.
C
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 证明面面平行
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．
例 1
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
[归纳提升] 平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
题型二 面面平行性质的应用
(2021·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.
例 2
求证：四边形EHFG为平行四边形．
[分析] 利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC．从而说明四边形EHFG为平行四边形．
【对点练习】 (2020·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
题型三 面面平行性质定理与判定定理的综合应用
如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
例 3
[归纳提升] 空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
【对点练习】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D．
[解析] (1)如图所示．
应用定理条件不足，推理论证不严密致误
易错警示
例 4
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD．
课堂检测 固双基
1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有 ( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
[解析] 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多．
C
2．下列结论中，错误的是 ( )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
A
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，
BB1∥平面DCC1D1，
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1．
3．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是
( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
[解析] 由长方体知，平面ABCD∩平面ABB′A′＝AB，所以A不正确；平面ABCD∩平面ADD′A′＝AD，所以B不正确；平面ABCD∩平面CDD′C′＝CD，所以C不正确；平面 ABCD与平面A′B′C′D′是相对平面，两平面平行．
D
4．已知异面直线l、m，且l∥平面α，m 平面α，l 平面β，α∩β＝n，则直线m、n的位置关系是______.
[解析] 由于l∥平面α，l 平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l、m异面，则直线m、n相交．
相交
素养作业 提技能
