第六章 5.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( B )
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两条直线互相平行
C．垂直于同一平面的两个平面互相平行
D．平行于同一平面的两条直线互相平行
[解析] A中两直线可相交、异面、平行，故A错；B中l⊥α，m⊥α则l∥m，正确；C中两平面可平行、相交，故C错；D中两直线可平行、相交、异面，故D错．
2．直线a与直线b垂直，b平行于平面α，则a与α的位置关系是( D )
A．a⊥α B．a∥α
C．a α或a∥α D．不确定
[解析] 当b∥α时，可存在直线a α，a⊥α，a∥α，故关系不确定．
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD．
BC⊥平面PAB BC⊥PB
由 CD⊥平面PAD CD⊥PD．
∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．
4．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( C )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
[解析] ∵PC⊥PA，PC⊥PB，
PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．
又∵AB 平面PAB，∴AB⊥PC．
又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.
又∵CH 平面PCH，∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] ∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，
∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，
∴sin ∠AC1A1＝＝.
6．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( ABC )
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
[解析] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；
由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，
又PA＝AB，D是PB的中点，
∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；
由AD⊥平面PBC，∴C正确．
由题意知PB与AC不垂直，所以PB与平面ADC不垂直，D错误．
二、填空题
7.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有 4 个．
[解析] ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．
∴△PAB、△PAC为直角三角形．
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥AC，BC⊥PC．
∴△ABC、△PBC为直角三角形．
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
[解析] 如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝.
9．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝ 6 .
[解析] ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.
三、解答题
10.如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[解析] (1)∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．
(2)∵BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC．
(3)∵AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是( BCD )
A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF
[解析] ∵六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，
∴AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；
∵DF⊥AF，DF⊥PA，又AF∩PA＝A，
∴DF⊥平面PAF，故B正确；
由正六边形的性质可知，CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；
∵CF与AD不垂直，∴CF⊥平面PAD不正确．故选BCD．
2. (2021·安徽蚌埠高二检测)如图所示，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( A )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
[解析] 若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确．
因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC．
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD．
3．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( B )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
[解析] 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )
A．8 B．6
C．8 D．8
[解析] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，
根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，
因为AB＝2，所以BC1＝2，从而求得CC1＝2，
所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8，故选C．
二、填空题
5．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的 外心 .(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)
[解析] P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为 45° .
[解析] 如图，设C在平面α内的射影为O点，
连接AO，MO，
则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．
设AC＝BC＝1，则AB＝，
∴CM＝，CO＝.
∴sin∠CMO＝＝，
∴∠CMO＝45°.
三、解答题
7．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
[解析] 当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
连接A1B、CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，
又D1E 面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.
又DD1⊥平面BD，
∴AF⊥DD1．
又AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥D1E.∴D1E⊥平面AB1F.
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
8.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．
[解析] (1)证明：连接AC交BD于点O，连接PO.∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，BO＝DO.
又∵PB＝PD，∴PO⊥BD．
∵AC∩PO＝O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，∴BD⊥PC．
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，
∴BO＝AB＝1．
又∵PD＝PB＝2，∴PO＝.
∵AO＝AC＝，PA＝，∴PA2＝PO2＋AO2，
∴△PAO是等腰直角三角形，且∠POA＝90°.
又∵E是PA的中点，∴S△PEC＝S△PAC＝·AC·PO＝××2×＝，∴VP－BEC＝VB－PEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.(共46张PPT)
第六章 立体几何初步
§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
课程标准 核心素养
1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线与平面垂直的位置关系． 2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面垂直的位置关系. 通过本节的学习，学会有逻辑地思考问题，增强学生运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)文字叙述：如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．
(2)符号表示：任意a α，
都有l⊥a l⊥α.
(3)图形表示：
任何
知识点1
直线与平面垂直
基础知识
思考1：过一点有几条直线和平面垂直呢？
提示：有且只有一条．
(1)文字叙述：垂直于同一个平面的两条直线______.
(2)符号表示：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)图形表示：
平行
知识点2
直线与平面垂直的性质定理
思考2：两条异面直线能垂直于同一个平面吗？
提示：不能，由线面垂直的性质定理可得．
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上________到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．
任意一点
知识点3
直线到平面的距离
(1)定义：一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面作
垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
知识点4
直线与平面所成的角
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.
思考3：直线与平面所成的角范围是多少？
提示：直线与平面所成的角θ的范围：0°≤θ≤90°.
(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的_____________垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形表示：
知识点5
直线与平面垂直的判定定理
两条相交直线
(3)符号表示：
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A l⊥α.
思考4：过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？
提示：有且仅有一条．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行． ( )
(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． ( )
(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． ( )
(4)到已知平面距离相等的两条直线平行． ( )
(5)斜线与平面所成的角为锐角． ( )
√
√
×
×
√
[解析] (2)因为梯形的两条腰所在的直线相交．(3)梯形的上下底边平行，所以直线和平面不一定垂直．(4)这两条直线可能平行、相交或异面．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
[解析] 由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以OA⊥平面OBC．
C
3．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 ( )
A．(0°，90°) B．[0°，90°]
C．(0°，90°] D．[0°，180°]
[解析] 由线面角的定义知B正确．
4．设α表示平面，a，b表示直线．
①a⊥α，a∥b b⊥α；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a⊥α，b⊥α a∥b.
上述说法中正确的序号是______.
[解析] ①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不正确；③易知正确．
B
①③
5．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的关系是______.
[解析] EF与平面BB1O的关系，即EF与平面BB1D1D的关系．由已知可得EF⊥BD，EF⊥BB1，即可得EF⊥平面BB1D1D．
垂直
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 直线与平面垂直的正确理解
(1)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
例 1
B
BC
(3)下列命题中，正确的序号是______.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
④⑤
[解析] (1)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．
(2)A中n，α可能平行或n在平面α内；BC正确；D两直线m，n平行或异面．
(3)当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确，故填④⑤.
[归纳提升] 直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直 线面垂直．
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直 线线垂直．
【对点练习】 (1)如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；
②梯形的两边；
③圆的两条直径；
④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直的序号有 ( )
A．①③ B．①②
C．②④ D．①④
A
(2)下列说法正确的有_____(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
②
[解析] (1)三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
(2)因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．
由线面垂直的定义可得，②正确．
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．
如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
题型二 线与面垂直的判定与性质的综合
如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G., 求证：AE⊥SB．
例 2
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB．
[归纳提升] 线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
【对点练习】 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB．
题型三 直线与平面所成的角
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
例 3
[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[归纳提升] 求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【对点练习】 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
考虑不周全而致误
易错警示
例 4
[错因分析] 解答本题时只考虑A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况而出现漏解．
课堂检测 固双基
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能 ( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
[解析] ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，
又∵m α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．
A
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为 ( )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m α或m⊥α或m与α斜交，即③错误．
B
3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是______.
[解析] 由线面垂直的性质定理可得．
平行
4．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m，4 m，1 m，则P与墙角B的距离为_____m.
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
[解析] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC．
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．
素养作业 提技能
