(共42张PPT)
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
课程标准 核心素养
1．借助生活中的实物进行演示，理解柱、锥、台的侧面展开，理解面积的求法． 2．掌握柱、锥、台的表面积的求法. 通过本节的学习，培养学生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，_______的面积就是它们的侧面积．
展开图
知识点1
侧面积的概念
基础知识
2πrl
知识点2
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
πrl
π(r1＋r2)l
思考1：从运动的角度看，圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间存在怎样的联系？
知识点3
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式
思考2：正棱锥、正棱台的斜高和高有什么区别？
提示：正棱锥、正棱台的斜高是正棱锥和正棱台侧面图形的高，而正棱锥的高是指顶点到底面的距离，正棱台的高是上下两个底面之间的距离．
基础自测
√
×
×
√
2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为 ( )
A．22 B．20
C．10 D．11
[解析] 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
A
D
C
5．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面积是_______.
[解析] 因为圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，所以圆台的侧面积S侧＝π(r＋r′)l＝π×(7＋2)×6＝54π.
54π
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例 1
B
2π
168π
[归纳提升] 求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程．
【对点练习】 (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为_____.
(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_______.
(3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_____.
7
4πS
1
题型二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
[分析] 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长．
例 2
[归纳提升] 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．
【对点练习】 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
题型三 柱、锥、台的侧面展开与表面积的实际应用
有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
例 3
[解析] 因为圆柱形铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示．
[归纳提升] 最短路线的求解思路
求几何体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题，求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现．
【对点练习】 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
课堂检测 固双基
1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ( )
A．2π B．π
C．2 D．1
[解析] 本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面展开图是长宽分别为1,2π的矩形，面积为S＝2π.
A
A
3．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是_____.
5．已知一块正方形薄铁片的边长为8 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？
素养作业 提技能第六章 6.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( B )
A．1?2 B．2?3
C．1?3 D．1?4
[解析] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，∴S侧面积?S表面积＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝2?3，故选B．
2．棱长为3的正方体的表面积为( C )
A．27 B．64
C．54 D．36
[解析] 正方体的表面积为S＝6×32＝54.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( C )
A．2 B．2
C．4 D．8
[解析] 设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，
则l＝(r＋R)，
又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，∴l2＝16，∴l＝4.
4．设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是( B )
A．10 B．20
C．30 D．40
[解析] 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则有可得，从而该圆锥的侧面积为πl2＝π·4r2＝20.
5．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( B )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，
∴增加了S2－S1＝12a2.
6．(2021·河北高一月考)某六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其表面积为( B )
A．12＋12 B．48＋12
C．64＋6 D．72＋6
[解析] 由题意知该六棱柱的侧面面积为4×2×6＝48，上、下底面的面积均为×2×2××6＝6，所以全面积等于48＋12.故选B．
二、填空题
7．如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为 24＋2 .
[解析] 该三棱柱的表面积为2×＋3×(4×2)＝24＋2.
8．(2021·江苏省扬州市检测)若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为8 cm3，则它的侧面面积为 4 cm2.
[解析] ∵该正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为8 cm3，∴该四棱锥的高为3 cm，∴侧面等腰三角形的高为＝(cm)，故S侧＝4××2×＝4(cm2)．
9．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ 3 cm.
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3 cm.
三、解答题
10.如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[解析] 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2021·江苏高一期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( B )
A．80 B．240
C．320 D．640
[解析] 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为＝8.
∴等腰梯形的面积为×(4＋16)×8＝80，∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240.故选B．
2．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( C )
A．120° B．150°
C．180° D．240°
[解析] 设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，
∴l＝2r，∴θ＝＝π.
3．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是( AB )
A．32π2＋8π B．32π2＋32π
C．32π2＋64π D．64π
[解析] 当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，
底面圆的半径为r＝2，两底面面积为2πr2＝8π，
所以圆柱的表面积为32π2＋8π；
当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，
底面圆的半径为r＝4，两底面面积为2πr2＝32π，
所以圆柱的表面积为32π2＋32π.
4．(2020·全国Ⅰ卷理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝＝，
由题意得PO2＝ab，即b2－＝ab，化简得42－2·－1＝0，
解得＝(负值舍去)．故选C．
二、填空题
5．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，其侧面积为 32 cm2，全面积为 48 cm2.
[解析] 如图所示，
正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
所以斜高h′＝PE＝＝＝4(cm)．
所以S正四棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)，
S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．
6．(2021·安徽省安庆市二模)已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为 (6＋4)π .
[解析] 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴×AC2＝2，解得AC＝
2，
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
∴圆锥底面的半径r＝OC＝ACcos30°＝2×＝，则该圆锥的表面积为π×()2＋π××2＝6π＋4π＝(6＋4)π.
三、解答题
7．已知正三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.求该三棱锥的表面积．
[解析]
如图所示，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，
有VD＝＝
＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以，三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
8．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
