第六章 6.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．如果两个球的体积之比为8?27，那么两个球的表面积之比为( C )
A．8?27 B．2?3
C．4?9 D．2?9
[解析] 设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝.则两个球的表面积之比为＝2＝.
2．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( D )
A．6?5 B．5?4
C．4?3 D．3?2
[解析] 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6πR2?4πR2＝3?2.
3．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为( A )
A．27π B．π
C．36π D．π
[解析] S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3，
∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π.
4．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( B )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
[解析] 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，图略．
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
5．球面上四点P，A，B，C，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为( B )
A．2πa2 B．3πa2
C．4πa2 D．6πa2
[解析] 可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．
∴有a＝2R，∴R＝a，∴S＝4πR2＝3πa2.
二、填空题
6．一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为 .
[解析] 由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.
7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为 2πa2 .
[解析] 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径r＝a，则表面积为4πr2＝4π×2＝2πa2.
8．已知H是球O的直径AB上一点，AH?HB＝1?2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 π .
[解析] 本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．
如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.
三、解答题
9．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
[解析] (1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，
由△OCD∽△ACO1得＝.
∴＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( C )
A．36π B．64π
C．144π D．256π
[解析] 如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( A )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
[解析] 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．
3．如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为( C )
A．7π cm2 B．8π cm2
C．9π cm2 D．11π cm2
[解析] 由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2 cm，圆柱的高为3 cm，故圆柱一个底面的面积为π×2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为×4×π×2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．
4．(多选)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则对半球的说法正确的是( ABC )
A．半径是3 B．体积为18π
C．表面积为27π D．表面积为18π
[解析] 设球的半径为R，则××(2R)2×R＝18，解得R＝3，故半球的体积为×π×33＝18π.
半球的表面积为S＝×4π×32＋π×32＝27π.故选ABC．
二、填空题
5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .
[解析] 本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．
依据题意画出示意图：
设球半径R，圆锥底面半径r，则
πr2＝·4πR2，
即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.
所以，高的比为.
6．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，则该三棱锥的外接球的表面积为 5π ，该三棱锥的体积的最大值为 .
[解析]
因为在三棱锥A－BCD中AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以AC＝＝，
取AC中点O，连接OB，OD，
则OA＝OB＝OC＝OD＝，
所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，球半径r＝，所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积S＝4πr2＝4×π×＝5π.
当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥A－BCD的体积最大，设D到平面ABC的距离为h，
则×AD×DC＝×AC×h，
解得h＝＝＝.
所以该三棱锥的体积最大值为：
V＝×S△ABC×h＝××AB×BC×h
＝××1×2×＝.
三、解答题
7．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．
[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，
∴R＝a，r＝a，
∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，
S3＝6π2＝6π·a2＝a2，
∴S2又6a2>3a2＝a2，即S1>S3.
∴S1，S2，S3的大小关系是S28．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
[解析]
如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.在Rt△AOB中，
AB＝1，BO＝×＝，
所以AO＝＝.
设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝－R，O1B＝R，BO＝，
在Rt△O1OB中，O1B2＝OB2＋OO，
即R2＝2＋2，解得R＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝.(共37张PPT)
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.3 球的表面积和体积
课程标准 核心素养
1．了解球的体积、表面积的推导过程． 2．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． 3．能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何体问题. 通过本节的学习，培养学生借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化；利用图形描述、分析数学问题的素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)球的大圆
球面被经过______的平面截得的圆称为球的大圆．
(2)球的小圆
球面被不经过______的平面截得的圆称为球的小圆．
(3)直线与球相切
直线与球有唯一______时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．
(4)切线长
过球外一点的所有切线的切线长都______.
球心
知识点1
球的相关概念
基础知识
球心
交点
相等
S球面＝________，V球＝________.其中R为球的半径．
4πR2
知识点2
球的表面积和体积公式
基础自测
√
√
B
3．已知球的大圆周长为6π，则它的表面积和体积分别是 ( )
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
B
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为 ( )
A．R B．2R
C．3R D．4R
D
5．球的表面积为4πcm2，则其体积为_______cm3.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 球的表面积
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，试求球的表面积．
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径，要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
例 1
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时，如右图，设OD＝x，由题意知π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．
同理可得BD＝20(cm)．
设球半径为R，则依题意，得
(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.
∴R＝25，故S球＝4πR2＝2 500π(cm2)．
(2)当球心在两个截面之间时，如右图．
设OD＝xcm，则OC＝(9－x)cm，
由题意得π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．
同理可得BD＝20 cm.
设球半径为R，则依题意，知
x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，故此情况不可能．
综上可知，所求球的表面积为2 500π(cm2)．
[归纳提升] 常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积．轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件．
C
题型二 球的体积
一种空心钢球的质量为142 g，外径是5.0 cm，求它的内径(钢的密度是7.9 g/cm3)．
例 2
【对点练习】 一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面距离为4 cm，则球的体积为_________cm3.
题型三 球的组合体
例 3
[归纳提升] 与球有关的组合体问题，通常有两种情况：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．
【对点练习】 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
B
题型四 几何直观与空间想象能力——切与接
常见的切与接问题：
1．球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．
2．多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．
3．球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．
有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
[分析] 有关球的内切和外接问题，作出轴截面研究．
例 4
[归纳提升] 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
课堂检测 固双基
1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为 ( )
A．2π B．4π
C．8π D．16π
[解析] ∵球的直径为2，∴球的半径为1，
∴球的表面积S＝4πR2＝4π.
B
C
4．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_____倍，表面积变为原来的_____倍．
8
4
5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
素养作业 提技能
