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第六章 立体几何初步
章末梳理
知识结构 理脉络
对点整合 提技能
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知识结构 理脉络
立体几何初步
对点整合 提技能
题型一 空间几何体的结构特征、直观图
(1)下列说法正确的是 ( )
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
例 1
B
题型二 空间几何体的表面积与体积
如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
例 2
[归纳提升] 1．空间几何体的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
2．空间几何体体积问题常见类型
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
题型三 空间中的平行关系
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
例 3
[归纳提升] 平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
题型四 空间中的垂直关系
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD．
例 4
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BF 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD．
[归纳提升] 垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
题型五 空间中的角的求法
如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
例 5
[归纳提升] 1．空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．
2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
4．常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．
总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
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B
D
[解析] 如图，连接BC1，PC1，PB，因为AD1∥BC1，
3．(2021·北京卷)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm—25 mm)，大雨(25 mm—50 mm)，暴雨(50 mm—100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级 ( )
B
A．小雨 B． 中雨
C．大雨 D．暴雨
D
[解析] 作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
5．(多选)(2021·新高考全国卷Ⅱ)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
BC
[解析] 设正方体的棱长为2，
对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，
对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN，
对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确．
对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，
则AC∥MN，
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
B
[解析] 如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3?1，即AD＝3BD，
7．(2021·浙江卷)如图已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则 ( )
A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCD
B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCD
D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
A
8．(2021·全国卷甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为_______.
39π
9. (2021·新高考全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．
[解析] (1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为CD 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M，连EM
10．(2021·全国卷甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
[解析] (1)如图所示，连接AF，
正方形BCC1B1中，G，F为中点，则BF⊥B1G，
又BF⊥A1B1，A1B1∩B1G＝B1，
故BF⊥平面A1B1GH，而DE 平面A1B1GH，
从而BF⊥DE.
11．(2021·全国卷乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积．
[解析] (1)因为PD⊥底面ABCD，AM 平面ABCD，
所以PD⊥AM，
又PB⊥AM，PB∩PD＝P，
所以AM⊥平面PBD，
而AM 平面PAM，
所以平面PAM⊥平面PBD．第六章综合检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
①在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中真命题的个数是( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]
①不一定，只有当这两点的连线与圆台的轴共面时，才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
2．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( C )
A．64π cm2 B．36π cm2
C．64π cm2或36π cm2 D．48π cm2
[解析] 分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确．
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( B )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
[解析] 由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( D )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
[解析] 连接DC1，可知MN是△C1DB的中位线，所以MN∥BD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行．
5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH(或其补角)为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝＝，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝，∴cos ∠AFH＝.
6.E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 在△ACD中，∵G，F分别为AD与CD的中点，∴GF∥AC．而GF 平面EFG，AC平面EFG，∴AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.故选C．
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( A )
A． B．16π
C．9π D．
[解析] 如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O′.∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，
∴AO′＝.∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A．
8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．下列命题为真命题的是( BD )
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
[解析] A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b α，c α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD．
10.如图，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是( ACD )
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
[解析] 连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD．由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C、D正确．故选ACD．
11．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为( ABD )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
[解析] ∵QM∥PN，∴QM∥平面ABD，∴QM∥BD，同理可得AC∥MN，∵QM∥BD，AC∥MN，MN⊥QM，∴AC⊥BD，A正确；∵AC∥MN，∴AC∥截面PQMN，B正确；∵QM∥BD，AC∥MN，∴＋＝1，C不一定正确；∵QM∥BD，∴异面直线PM与BD所成的角为∠PMQ＝45°，D正确．故选ABD．
12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( BC )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
[解析] 取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A选项错误；∵A1G∥D1F，A1G平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；
假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．故选BC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是 .
[解析] ∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，
∴该圆柱的高h＝1，底面周长2πr＝1，∴底面半径r＝，
∴该圆柱的体积V＝π××1＝.
14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为 12 厘米．
[解析] V＝Sh＝πr2h＝πR3，
R＝＝12(厘米)．
15．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b α，a⊥b，则α⊥β；②若a α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是 ②④ .
[解析] 对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F是PA和AB的中点，则PA＝ 2 ，PA与平面PBC所成角的正弦值为 .
[解析] 如图所示，连接AC，过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，
又PC∩BC＝C，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，
又AH⊥BC，∴H为BC中点，AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
[解析] 不会溢出杯子．理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
因为V半球18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD 平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD．
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，
AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，∴PD⊥平面PAB．
又PD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
[解析] (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1．
又EF平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1．
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB．
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，
所以AB⊥平面AB1C．
又因为AB 平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．
20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC＝45°，AC＝.
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)若PD＝2，BD＝2，求四棱锥E－ABCD的体积．
[解析] (1)设AC∩BD＝F，连接EF.
∵PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PD⊥CD．
∵CD⊥PA，PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD．
∵AD 平面PAD，∴CD⊥AD．
∵∠DAC＝45°，∴DA＝DC．
∵DB平分∠ADC，∴F为AC的中点．
∵E为PC的中点，∴EF为△CPA的中位线，∴EF∥PA．
又EF 平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)由(1)知DB⊥AC，将底面四边形ABCD的面积记为S，则S＝S△ADC＋S△ABC＝××＋××＝2.
∵点E为线段PC的中点，
∴V四棱锥E－ABCD＝S×PD＝×2××2＝.
21．(本小题满分12分)在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC．
(1)求证：BD⊥平面SAC；
(2)求二面角E－BD－C的大小．
[解析]
(1)证明：如图，
∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，
∴BE⊥SC．
又DE∩BE＝E，
根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，
∵BD 平面BDE，∴SC⊥BD．
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，∴SA⊥BD．
又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC．
(2)由(1)知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC．
在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，
设SA＝AB＝1，则SB＝.
由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，
∴BC⊥平面SAB，SB 平面SAB，∴BC⊥SB．
在Rt△SBC中，SB＝BC＝，∠SBC＝90°，则SC＝2.
在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.
∴cos ∠ASC＝＝，
∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
22．(本小题满分12分)已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：平面AEC⊥平面BDE；
(2)求点F到平面ABE的距离．
[解析] (1)∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE 平面EDAF.
平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，∴DE⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴DE⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵DE、BD 平面BDE，DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE，
∵AC 平面ACE，∴平面AEC⊥平面BDE.
(2)过点F作FG⊥AE于点G，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
AB 平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF，又FG 平面ADEF，所以AB⊥FG，
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以FG⊥平面ABE，
所以线段FG的长即为点F到平面ABE的距离，
AF＝1，AE＝，
S△AEF＝×1×1＝，S△ABE＝×1×＝，
由VB－AEF＝VF－ABE，得S△ABE·FG＝S△AEF·AB，即FG＝，
所以FG＝，
即点F到平面ABE的距离为.
