第五章综合检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝( A )
A．i B．－i
C． D．
[解析] z＝＝－i，则＝i.
2．已知复数z＝i，则＝( C )
A．1＋i B．1－i
C． D．1
[解析] 已知复数z＝i，则＝＝1－i |1－i|＝.
3．设i是虚数单位，则复数z＝3在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 因为1＋＝1＋＝1－i，
所以z＝3＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，
所以复数z＝3在复平面内对应的点为(－2，－2)，位于第三象限．
4．已知(a＋2i)2(a∈R)是纯虚数，则|a＋i|＝( B )
A． B．
C．3 D．5
[解析] (a＋2i)2＝a2－4＋4ai，因为(a＋2i)2为纯虚数，所以即a＝±2，则|a＋i|＝|±2＋i|＝.
5．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋4i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( B )
A．3＋2i B．3－2i
C．－3－i D．－3＋i
[解析] 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋4i＝0.
即解得所以z＝3－2i.
6．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2( A )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[解析] 复数z1，z2满足z1＝2，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于x轴对称．
7．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－i，z·＝4，则a＝( A )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
[解析] 由题意，复数z＝a－i，则＝a＋i，
所以z·＝(a－i)(a＋i)＝a2＋3＝4，
所以a2＝1，
即a＝1或a＝－1．
8．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数ei的虚部为( B )
A．－ B．
C．－i D．i
[解析] 根据欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，可得ei＝cos＋isin＝＋i，
所以ei的虚部为.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若θ∈，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在( ABC )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵θ∈，∴cos θ＞0，sin θ<0，∴复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC．
10．已知i是虚数单位，与复数2相同的选项为( BD )
A．－i B．－1
C．1 D．i2
[解析] 2＝＝－1．
11．设1，z2是复数，给出四个命题：
①若|z1－z2|＝0，则1＝2
②若z1＝2，则1＝z2
③若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
④若|z1|＝|z2|，则z＝z
其中真命题的有( ABC )
A．① B．②
C．③ D．④
[解析] 由z1，z2是复数，得：
在①中，若|z1－z2|＝0，则z1，z2的实部和虚部都相等，所以1＝2，故①正确；
在②中，若z1＝2，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，所以1＝z2，故②正确；
在③中，若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2＝|z1|2，故③正确；
在④中，若|z1|＝|z2|，则由复数的模的性质得z≠z，
如|1－i|＝|1＋i|＝，但(1－i)2＝－2i≠(1＋i)2＝2i，故④不正确．
12．若复数z＝(a－i)·i，a是下列区间内的任意实数，则可以使|z|≤2恒成立的是( AB )
A．[－1,0)
B．[－1,1]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
[解析] 因为z＝(a－i)·i＝1＋ai，所以|z|＝≤2，解得－≤a≤.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.2 019＝ －i .
[解析] ＝＝i，
所以2 019＝i2 019＝i4×504＋3＝i3＝－i.
14．已知i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点的坐标为 (1，－1) .
[解析] 复数z＝＝＝＝1－i，
则z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．
15．已知a，b∈R，复数z＝a－i且＝1＋bi(i为虚数单位)，则ab＝ －6 .
[解析] 因为z＝a－i，所以＝＝1＋bi，
即a－i＝(1＋i)(1＋bi)＝1＋bi＋i－b
＝(b＋1)i＋1－b，
根据左右两边对应相等有
所以ab＝－6.
16．已知复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z2＝ 2i ；|z|＝ .
[解析] 由题意，根据复数的运算，化简得z＝＝＝－1－i，
所以z2＝(－1－i)2＝2i，|z|＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R)．
(1)若z为纯虚数，求|3＋z|；
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
[解析] (1)若z为纯虚数，则
所以a＝0，故z＝i，
所以|3＋z|＝.
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则
解得a>1．
18．(本小题满分12分)计算：
(1)；
(2)＋.
[解析] (1)＝
＝＝＝＝－－i.
(2)＋＝－＝＝－1．
19．(本小题满分12分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋
bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z及；
(2)若ω＝，求复数ω的模．
[解析] (1)由题可得(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)
＝(3－3b)＋(9＋b)i，
因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0且9＋b≠0，解得b＝1，
所以z＝3＋i，＝3－i.
(2)由(1)可得ω＝＝＝
＝＝－i，
所以|ω|＝＝＝.
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.
(1)求复数z的共轭复数及|z|；
(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．
[解析] (1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i
＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i，
＝－3＋3i，
|z|＝＝3.
(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，所以
解得a＝－1．
所以实数a＝－1．
21．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
[解析] (1)因为ω－4＝(3－2ω)i，所以ω(1＋2i)＝4＋3i，
所以ω＝＝＝2－i，
所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.
(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，
(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，
因为p，q为实数，所以
解得p＝6，q＝10.
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.
所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.
22．(本小题满分12分)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求
(1)|z|的最大值和最小值；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
[解析] (1)满足条件|z＋＋i|≤1的复数z的几何意义为圆心为(－，－1)，半径为1的圆及其内部，|z|则表示圆面上一点到原点的距离，易求得圆心到原点的距离为＝2，所以|z|max＝3，|z|min＝1．
(2)∵|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2，
∴|z－1|2＋|z＋1|2最大值为20，最小值为4.(共34张PPT)
第五章 复数
章末梳理
知识结构 理脉络
考点整合 提技能
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知识结构 理脉络
复数
复数
复数
考点整合 提技能
题型一 有关复数的概念
当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．
[分析] 根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．
例 1
题型二 复数相等
已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
例 2
题型三 复数的模及几何意义
已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值．
例 3
题型四 复数与其他知识的综合应用
四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
例 4
[归纳提升] 复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．
题型五 复数的三角形式及运算
例 5
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B
2．(2021·全国卷乙卷文科) 设iz＝4＋3i，则z＝ ( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
C
C
4．(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i，(i为虚数单位)，则a＝ ( )
A．－1 B． 1
C．－3 D． 3
C
C
A
7．(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝
( )
A．2＋i B． 2－i
C．1－i D． 1＋i
D
D
3－2i
11．(2020·江苏卷，2)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是_____.
[解析] z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以复数z的实部为3.
3
