第一章 1
A 组·素养自测
一、选择题
1．如右图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为( C )
A．1．5 s B．2 s
C．2.5 s D．3 s
[解析] 若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.
2．(多选)下列是周期现象的有( ABC )
A．地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化
B．海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象
C．做简谐运动的物体的位移变化情形
D．连续掷一枚均匀骰子，出现点数为1,2,3,4,5,6的情况
[解析] D不是周期现象，A，B，C均为周期现象．
3．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2016年是猴年，那么1949年是( A )
A．牛年 B．虎年
C．兔年 D．龙年
[解析] 2016－1949＝67,67÷12＝5……7，从猴年往前数第7个即可，也就是牛年．
4．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( C )
A．五 B．六
C．日 D．一
[解析] 因为每星期含有7天，而58＝7×8＋2，即58天后是再过8个星期后第2天，即星期日，故选C．
5．若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( B )
A．24.5天 B．29.5天
C．28.5天 D．24天
[解析] 由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，也是周期为4的周期函数，且在区间[0,2]上单调递减，则f(－2 021)与f(2 022)的大小关系为( A )
A．f(－2 021)>f(2 022)
B．f(－2 021)C．f(－2 021)＝f(2 022)
D．不确定
[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，也是周期为4的周期函数，
所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1)，
f(2 022)＝f(2＋505×4)＝f(2)
又由f(x)在区间[0,2]上单调递减，得f(1)>f(2)，得f(－2 021)>f(2 022)．
二、填空题
7．把扑克牌按照红桃2张，梅花3张，方块1张，黑桃2张的顺序连续排列着，则第76张牌的花色是 梅花 .
[解析] 2张红桃，3张梅花，1张方块，2张黑桃按顺序排列，每隔8张又重复出现，又76＝8×9＋4，所以第76张是梅花．
8．定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[－4,0]时f(x)＝x＋1，则f(25)＝ 0 .
[解析] 因为定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8.当x∈[－4,0]时，f(x)＝x＋1，
所以f(25)＝f(8×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋1＝0.
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为 0 .
[解析] f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.
三、解答题
10．一群小朋友在课间活动时进行报数游戏，他们9个人围成一圈，按顺时针方向依次报数：王莹报“1”，马可报“2”，田雨报“3”，李舟报“4”，朱悦报“5”，严明报“6”，王志忠报“7”，林玉报“8”，王威报“9”，这样每个人报的数总比前一个人多1，问“43”是谁报的，“84”是谁报的？
[解析] 9名同学重复报数，一个周期里有9个数，计算43里面有几个9，而43÷9＝4(组)……7(个)，余数7是指43是“王志忠”报的，同理84÷9＝9(组)……3(个)，余数3是指84是“田雨”报的．即43是王志忠报的，84是田雨报的．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为( D )
A．2 s,10 mm B．1 s,20 mm
C．1 s,10 mm D．2 s,20 mm
[解析] 图象可知，重复一次所需时间T＝2 s，当t＝25 s时，因为25＝2×12＋1，所以25 s时的高度与1 s时的高度相同，即20 mm.
2．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯是蓝灯，那么第90盏灯是( A )
A．红灯 B．蓝灯
C．黄灯 D．绿灯
[解析] 按顺序每4盏灯又重复前面的顺序，是周期性的．又90＝4×22＋2，所以第90盏灯是红灯．
3．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 019)的值为( A )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
[解析] ∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，
∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)，即f(x＋1)＝－f(x－1)．
∴f(x＋2)＝－f(x)．
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.
∴f(2 019)＝f(3)＝2.
4．(多选)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋8)＝f(x)，f(x)的图象关于x＝2对称，且在区间[0,2]上是增函数，若关于x的方程f(x)＝m在区间[－8,8]上有根，则所有根的和为( ABCD )
A．0 B．±4
C．8 D．－8
[解析] 由周期性，奇偶性，对称性，作图如下：
由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知，关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.
二、填空题
5．已知地球的自转周期约为24小时，其绕太阳的公转周期约为365天．木星的自转周期约为10小时，公转周期约为12年．
(1)如果地球自转5周，那么木星自转 12 周；
(2)如果在木星上生活10年，那么等于在地球上生活 120 年．
[解析] (1)5×＝12；
(2)10×＝120.
6．如图所示的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，则振子的振动周期T＝ 4 s.
[解析] 设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O运动到B的时间为，而振子以相同的速度通过M、N的时间为t1＝1 s，则O到N的时间为，又向右经N—B—N的时间为t2＝1，则N到B的时间为，
∴＝＋＝＋＝1．
∴T＝4 s.
三、解答题
7．如图为某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？
[解析] (1)由图易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
(2)如果从O点算起，则到曲线上的D点完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点完成了一次往复运动．
8．毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家．有一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A，B，C，…，G如下表所示)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是那一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？
A B C D E F G
1 2 3 4 5 6 7
13 12 11 10 9 8
14 15 16 17 18 19
25 24 23 22 21 20
……
[解析] 发现数“2,3,4，…，1 997,1 998,1 999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，而1 999－1＝12×166＋6，也就是说循环出现166次后，再从B数6个，所以数到1999的那根柱子的标号是G.(共35张PPT)
第一章 三角函数
§1 周期变化
课程标准 核心素养
1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期． 2．了解周期函数的概念与最小正周期的意义. 通过具体实例，让学生感知周期现象，得到周期函数的定义从而培养学生的直观想象素养，提升学生的逻辑推理素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)以相同______重复出现的变化叫作周期现象．
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相同间隔，这种变化是否会________，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象．
思考1：2022年2月21日是星期一，若再过200天是星期几？
提示：2022年2月21日是星期一，由200＝28×7＋4知自2022年2月21日再过200天是星期五．
间隔
知识点1
周期现象
基础知识
重复出现
(1)一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x∈D，都有_________且满足f(x＋T)＝________，那么函数y＝f(x)，x∈D称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
(2)如果在周期函数y＝f(x)，x∈D的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)，x∈D的___________.如果不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．
思考2：周期函数的周期是否只有一个？
提示：不是，例如函数f(x)＝x－[x]的周期就不止一个．
x＋T∈D
知识点2
周期函数
f(x)
最小正周期
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)钟表的秒针的运动是周期现象． ( )
(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象． ( )
(3)函数f(x)＝x，x∈N是周期函数． ( )
[解析] (1)秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．
(2)虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．
(3)因为f(x＋T)≠f(x)，所以不是周期函数．
√
×
×
2．下列变化中不是周期现象的是 ( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
[解析] 每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；分针每隔一小时转一圈，是周期现象；天干地支表示年、月、日是周期现象；该同学上学时间不固定，并不是每隔“一段时间”就会重复一次，因此不是周期现象．
D
3．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 020盆花的颜色是
( )
A．红 B．黄
C．紫 D．白
[解析] 因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2 020÷4＝505，为505个周期，所以第2 020盆花为白花．
D
4．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列．
○○○○●○○○○●○○○○
第100个圆片的颜色是______.
[解析] 白、黑两种颜色的圆片排列成周期性变化，即周期为5，所以第100个圆片的颜色为黑色．
黑色
5．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是_____.
[解析] 观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.
2
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 生活中的周期现象
下列现象是周期现象的是___________________(填序号)．
(1)地球上一年四季的变化；
(2)钟表的秒针的运动；
(3)某十字路口红绿灯的变换；
(4)月亮的圆缺变化；
(5)地球的自转．
例 1
(1)(2)(3)(4)(5)
[思路分析] 要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
[解析] (1)地球上一年分为春、夏、秋、冬四季，每一年都是如此，具有重复性，因而是周期现象．
(2)钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因而是周期现象．
(3)十字路口的红绿灯都是按规定的时间交替亮起，具有重复性，因而是周期现象．
(4)月亮的圆缺按“朔—上弦—望—下弦—朔”不断重复，因而是周期现象．
(5)地球的自转每24小时转一圈，并且每一个24小时总是重复前一个24小时的动作，因而是周期现象．
[归纳提升] “每间隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象．”这里的“一段时间”即为周期现象的周期．
【对点练习】 下列变化是周期现象的是 ( )
A．地球自转引起的昼夜交替变化
B．某人每天锻炼的时间
C．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
[解析] 某人每天锻炼的时间可以是变化的，不是周期现象；某交通路口每次绿灯通过的车辆数是随意变化的，不是周期现象；某同学每天打电话的时间可长可短，也不具有规律性，不是周期现象，故选A．
A
题型二 周期函数
(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 ( )
例 2
D
[解析] 对于D，函数图象不是经过相同单位长度后，图象重复出现；而A、C中经过一个单位长度，图象重复出现；B中图象每经过2个单位长度，图象重复出现．所以A、B、C中的函数是周期函数，D中函数不是周期函数．
(2)在如图所示的y＝f(x)的图象中，若f(0.005)＝3，则f(0.025)＝_____.
[解析] 由图象知周期为0.02，
所以f(0.025)＝f(0.005＋0.02)＝f(0.005)＝3.
3
[归纳提升] 1．观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现．
2．用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)．
丁
戊
(2)如图是一个单摆振动的函数图象，根据图象，回答下面问题：
①单摆的振动函数图象是周期变化吗？
②若是周期变化，其振动的周期是多少？
③单摆离开平衡位置的最大距离是多少？
[解析] (2)①观察图象可知，图象从t＝0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期变化；
②振动的周期为0.8 s；
③由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm，所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.
题型三 周期函数的应用
例 3
D
[归纳提升] 确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
【对点练习】 已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x＋1)＝－f(x)，若f(1)＝1，则f(10)＝ ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由f(1＋x)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数的周期为2，则f(10)＝f(0)，
又因为f(1)＝1，所以当x＝0时，f(1)＝－f(0)＝1，
即f(0)＝－1，则f(10)＝－1．
A
课堂检测 固双基
1．下列现象是周期现象的有 ( )
①太阳的东升西落
②潮汐现象
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 上面这4种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象．
D
C
3．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是_____色．
[解析] 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．
红
[解析] (1)T＝2.
(2)把y＝f(x)向左平移一个单位长度得y＝f(x＋1)的图象，即如图所示．
素养作业 提技能
