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第一章 三角函数
§2 任意角
课程标准 核心素养
1．结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义． 2．理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示．(重点) 在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)角的概念
角可以看成平面内________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
一条射线
知识点1
任意角
基础知识
(2)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
逆时针
顺时针
思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
提示：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
(1)象限角的概念
在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
非负半轴
知识点2
象限角
(2)象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角 {α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角 {α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角 {α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角 {α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
(3)轴线角的集合表示
轴线角 角的集合表示
终边落在x轴的非负半轴上的角 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上的角 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在x轴上的角 {α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上的角 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上的角 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上的角 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在坐标轴上的角 {α|α＝k·90°，k∈Z}
(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
思考2：假设60°角的终边是OB，那么－660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？它们与60°分别相差多少？
提示：它们的终边相同，－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．
{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}
基础自测
1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 正角有126°，99°共2个．
B
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为 ( )
A．120° B．－120°
C．60° D．240°
3．下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是 ( )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
[解析] －1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
A
D
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是________.
[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
690°
5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、_________、_______.
390°
[解析] 题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
－150°
60°
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 任意角的概念
下列命题正确的是 ( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[分析] 角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
例 1
C
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[归纳提升] 关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【对点练习】 (1)(多选)下列说法，不正确的是 ( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 ( )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
ACD
B
题型二 终边相同的角
已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
[解析] 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
例 2
[归纳提升] (1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．
【对点练习】 已知角α的终边与－120°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，求角α.
题型三 区域角的表示
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
例 3
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[归纳提升] 1．表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
【对点练习】
如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解析] 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
题型四 象限角的确定
例 4
B
课堂检测 固双基
1．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则下面正确的是 ( )
A．M＝N＝P B．M P
C．M∩P＝N D．以上都不对
[解析] M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，N＝{θ|0°<θ<90°}，P＝{θ|θ<90°}，故选D．
D
2．与－457°角终边相同的角的集合是 ( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析] －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．
C
3．－215°是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
B
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有 ( )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
[解析] 角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．
D
5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析] (1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}.
素养作业 提技能第一章 2
A 组·素养自测
一、选择题
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( B )
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
[解析] 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B．
2．给出下列命题：
①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ①－75°是第四象限角，正确．②225°是第三象限角，正确．③475°＝360°＋115°是第二象限角，正确．④－315°＝－360°＋45°，是第一象限角；故选D．
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是( A )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
[解析] 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．
综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( C )
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α[解析] 在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C．
5．在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] －20°是第四象限的角；
－400°＝－360°－40°与－40°角的终边相同，是第四象限的角；
－2 000°＝－6×360°＋160°与160°角的终边相同，是第二象限的角；
600°＝360°＋240°与240°角的终边相同，是第三象限的角．
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( D )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
[解析] 因为α终边在第三象限，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D．
二、填空题
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝ {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z}) .
[解析] 点P在y轴的负半轴上，又270°的终边是y轴的负半轴，则S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝ k·360°＋60°，k∈Z .
[解析] 先求出β的一个角为α＋180°＝60°.
再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.
9．终边在直线y＝x上的角的集合S＝ {β|β＝30°＋n·180°，n∈Z} .
[解析]
在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°，210°(如图)，
所以终边在y＝x上的角的集合是
S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}．
三、解答题
10．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[解析] (1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
令－1 910°－k·360°≥0°，解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( C )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
[解析] 由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.
∴k·180°<α2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( C )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[解析] 令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C．
3．(多选)下列与412°角的终边相同的角是( ACD )
A．52° B．778°
C．－308° D．1 132°
[解析] 因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边
相同的角为β＝k·360°＋52°，k∈Z.当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1 132°.综上，ACD正确．
4．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( BD )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
[解析] 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，AC都不满足条件．
二、填空题
5．与－500°角的终边相同的最小正角是 220° ，最大负角是 －140° .
[解析] 与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．
6.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈ {α|n·180°＋30°<α[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
7．在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？
(3)写出其中的第三象限角．
[解析] (1)由k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8个．
(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
8．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析] (1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；
60°＋3×180°＝600°.
