第一章 3
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( D )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
[解析] 由角度制和弧度制的定义，知A，B，C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．下列转化结果错误的是( C )
A．22°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D．化成角度是15°
[解析] 对A,22°30′＝22.5°＝，正确；对B，－＝－×°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×＝－，错误；对D，＝×°＝15°，正确．
3．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵<5<2π，∴α＝5 rad为第四象限角，其终边位于第四象限．
4．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( D )
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
[解析] ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
又2π rad＝360°，315°＝π rad.
故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.
5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( D )
A．
B．
C．
D．(k∈Z)
[解析] 阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．
6．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( C )
A．tan 1 B．
C． D．
[解析]
如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1．
在Rt△AOC中，OA＝＝.
∴扇形的面积S＝×2×＝.
二、填空题
7．将－1 360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 －8π＋ .
[解析] ∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，
∴应填－8π＋.
8.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为 .
[解析] 连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.
9．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是 m，则这座大钟分针的长度为 0.5 m.
[解析] 因为分针20 min转过的角为，所以由l＝αr，得r＝＝＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.
三、解答题
10．如图，已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l(劣弧)及弧所在的弓形的面积S.
[解析] 由⊙O的半径r＝10＝AB知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝.
所以弧长l＝α·r＝×10＝，
所以S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
所以S＝S扇形－S△AOB＝50.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
[解析] ∵＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．
当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
2．(多选)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( BC )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[解析] α＝＝＝α，故圆心角不变，由面积公式S＝lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．
3．(多选)下列表述中正确的是( ABC )
A．终边在x轴上角的集合是
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
[解析] 终边在直线y＝x上角的集合应是?α，D不正确，其他选项均正确．故选ABC．
4．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( D )
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
[解析] ∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，
∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
二、填空题
5．已知θ∈，则θ的终边所在的象限是 第一或第二象限 .
[解析] 当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
6．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是 dm2.
[解析] 所在的圆的半径是2，所对圆心角为，
所在的圆的半径是1，所对圆心角为，
所在的圆的半径是，所对圆心角是.
点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：
＋＋＝(dm)；
3段弧所对应的扇形总面积为：
＋＋＝(dm2)．
三、解答题
7．已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
[解析] 设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2.
8．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．
[解析] (1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝，R1＝2，
所以扇形的周长为C1＝2R1＋×R1＝2×2＋＝4＋.
由题图②所示的方案，可得∠MON＝，R2＝1，
所以扇形的周长为C2＝2R2＋×R2＝2×1＋＝2＋.
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝＝2－.
(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝α1R＝××22＝.题图②所示方案的扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.
所以两种方案中的扇形面积一样大．(共45张PPT)
第一章 三角函数
§3 弧度制
课程标准 核心素养
1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1．借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养．
2．应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)角度制与弧度制的定义
度
知识点1
弧度制
基础知识
1
圆心角
rad
弧度
弧度
(1)常见角度与弧度互化公式如下：
知识点2
角度制与弧度制的换算
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
|α|·r
知识点3
扇形的弧长及面积公式
基础自测
1．下列说法中正确的是 ( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
D
[解析] 利用弧度的定义及角度的定义判断.
选项 结论 理由
A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，不是长度的度量单位.
B 错误
C 错误
D 正确
B
C
D
5．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝________.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 角度与弧度的换算及应用
例 1
题型二 用弧度制表示给定区域角(终边相同的角)的集合
用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
例 2
[分析] 本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界．
【对点练习】 用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．
题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用
例 3
[归纳提升] 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．
D
C
题型四 数学文化题的功能是传播数学文化
B
例 4
课堂检测 固双基
1．在不等圆中1 rad的圆心角所对的 ( )
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．
D
B
C
C
素养作业 提技能
