(共43张PPT)
第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
课程标准 核心素养
1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系． 2．掌握任意角的正弦、余弦的定义. 通过对正弦函数、余弦函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
在直角坐标系中，以原点为圆心，以________为半径的圆，称为单位圆．
单位长度
知识点1
单位圆
基础知识
(1)定义：如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值，记作v＝_________；点P的横坐标u是角α的余弦函数值，记作u＝_________.
sin α
知识点2
正弦函数、余弦函数的定义
cos α
知识点3
正弦函数、余弦函数定义的拓展
正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．
思考：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？
提示：由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．
知识点4
正弦函数、余弦函数的定义域和值域
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限． ( )
(2)若sin α＝sin β，则α＝β. ( )
[解析] (1)因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上．
(2)正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°.
×
×
D
B
4．已知角α的终边经过P(1,2)，则sin α等于___________.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用三角函数定义求三角函数值
例 1
题型二 单位圆中的角
例 2
[归纳提升] (1)先将角α表示为α＝β＋2kπ(－π＜β≤π，k∈Z)的形式，则角β的终边即为角α的终边，k为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)时针旋转的周数．
(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．
题型三 正弦、余弦函数值符号的确定
判断下列三角函数值的符号．
(1)sin 4·cos 4；
(2)sin 8·cos 8.
[分析] 确定4rad,8rad所在象限，则符号易定．
例 3
[归纳提升] 对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果．
C
课堂检测 固双基
B
B
素养作业 提技能第一章 4.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则sin α的值是( C )
A．－2 B．2
C．1 D．不存在
[解析] ∵点A(0,2)在y轴正半轴上，且r＝2，
∴sin α＝＝1．
2．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(a，a－3)，且cos α＝，则a等于( A )
A．1 B．
C．1或 D．1或－3
[解析] 由题意得＝，
两边平方化为a2＋2a－3＝0，
解得a＝－3或1，而a＝－3时，
点P(－3，－6)在第三象限，cos α<0，与题不符，舍去，选A．
3．角α的终边经过点(3,4)，则＝( C )
A． B．
C．7 D．
[解析] 由角α的终边经过点(3,4)，可得sin α＝，cos α＝，则＝＝7.
4．已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由sin α＝>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
二、填空题
5．若角α的终边经过点(1，－)，则sin α＝ － .
[解析] 由题意得x＝1，y＝－，则r＝2，
∴sin α＝＝－.
6．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为 ± .
[解析] 在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝，
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
三、解答题
7．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ.
[解析] 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝，
又因为cos θ＝x，所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1．当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝.
综上可知sin θ＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是( A )
A．－2 B．
C．－2或 D．2
[解析] 由余弦函数的定义知，
＝－，
化简整理得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又2a＋1<0，所以a＝－2.
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围为( B )
A．－2
C．－2≤a<3 D．－3≤a<2
[解析] ∵sin α>0，cos α≤0，
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3a－9≤0且a＋2>0.∴－23．(2021·河南平顶山高一月考)已知角α的终边经过点(－，m)(m≠0)，且sin α＝m，则cos α的值为( C )
A．－ B．－
C．－ D．±
[解析] r＝，∵sin α＝＝＝.
∴m2＝，m＝±.
∴cos α＝＝＝－.
二、填空题
4．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于 ± .
[解析] 在角α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝ －8 .
[解析] 根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，
又∵y<0，∴y＝－8(符合题意)，y＝8(舍去)．
综上知y＝－8.
三、解答题
6．已知角α的终边在直线y＝x上，求10cos α－的值．
[解析] 设角α的终边上任一点为Q(3k，k)(k≠0)，
则x＝3k，y＝k，r＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，α为第一象限角，
sin α＝＝，cos α＝＝，
所以10cos α－＝3－3＝0.
当k<0时，r＝－k，α为第三象限角，
sin α＝－，cos α＝－，
所以10cos α－＝－3＋3＝0.
综上，10cos α－＝0.
7．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
[解析] (1)由＝－可知sin α<0，
所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α>0，
所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角．综上可知，角α是第四象限角．
(2)因为点M在单位圆上，
所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
根据正弦函数的定义，可知sin α＝－.