14.2.1 平方差公式 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
知识回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 4)( x＋3）
=x2
＋3x
＋4x
＋12
=x2
＋7x
＋12.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
获取新知
互动探究：平方差公式
前边我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识,计算下列多项式的积,你能发现什么规律？
（1） = 　 ；
（2） = ；
（3） = 　．
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
你能证明(a+b)(a-b)=a2-b2吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(a+b)(a-b)
2、利用图形的面积证明
=a2-ab+ab-b2
= a2-b2
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
(a+b)(a-b)
算一算：看谁算得又快又准.
②（m＋ 2)( m－2）
③（2m＋ 1)( 2m－1)
④（5y ＋ z)(5y－z)
①（x ＋1)( x－1）
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
4m2 － 12
25y2 － z2
知识要点
(a+b)(a b)=
a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
【归纳总结】平方差公式的结构特点
1．等号左边：
(1)两个二项式的积；
(2)两个二项式中有相同项和相反项．
2．等号右边：
(1)二项式；
(2)相同项的平方减去相反项的平方．
例题讲解
解：（1）
例1　运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）(3x-2); （2）(-x+2y)(-x-2y) .
（2）
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
a
b
a2-b2
(a-b)(a+b)
利用平方差公式填表。
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
例题讲解
计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
例题讲解
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1.
n为正整数，
∴n2-1为整数
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
随堂演练
D
2．计算：118×122＝________．
14396
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9；
=4x4－y2.
=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
=(-2x2 )2－y2
=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
3.利用平方差公式计算：
（4） 20152 － 2014×2016.
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
= 20152
－ 20152+12
=1
3．先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝－2.
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
把x＝－2代入，得
原式＝－2－4＝－6.
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php