北师大版八年级数学上册 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式（教案）

用二元一次方程组确定一次函数表达式
【教学目标】
1．知识与技能
掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
2．过程与方法
理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。
3．情感态度与价值观
进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。
4．行为与创新
通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。
【教学重难点】
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
【教学过程】
一、复习引入
1．二元一次方程组与一次函数有何联系？
2．二元一次方程组有哪些解法？
意图：通过（1）问，体会函数和方程之间的联系——二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图像的交点坐标；反之，两个一次函数图像的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解；所以方程问题可以转化为函数来解决，同样函数问题也可以通过方程问题来加以解决。为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔。通过（2）问，让学生感受解决问题的方法的多样性和知识之间是互相联系的，为后面利用作图像方法和代数方法解决议一议的问题作铺垫。
效果：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫。
3．设计实际问题情境，导入新课
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数。1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米。问经过多长时间两人将相遇？
目的：通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫。同时理解知识之间有着广泛的联系。 通过“小明的方法求出的结果准确吗？”自然过渡到本节课的主要内容。
效果：通过引例的分组探索，深刻理解图像方法可以更直观、形象，但缺乏准确，用代数方法虽然准确，但不够形象和直观。
4．典型例题，探究一次函数解析式的确定
（1）某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元。
写出y与x之间的函数表达式；
旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：①设，根据题意，可得方程组
解该方程组，得
所以
②当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李。
（2）某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采
取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交
水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图
所示。
1 分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的
2 函数关系式；
②若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
解：①当0≤x≤15时，设，根据题意得
，解得
所以当0≤x≤15时，；
当x＞15时，设根据题意，可得方程组
解这个方程组，得
所以当x＞15时，。
②当x＝10时，代入中，得y=18．
当y=51时，代入中，得x=25．
意图：通过两个例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的方法；在设计本例题时，考虑到两种类型，一是利用文字提供的信息，一种是利用图像提供的信息，补充例2主要是承接第六章，一次函数图像的应用，进一步强化学生数形结合的意识，学会从图形中获取有用的信息。
效果：通过两个例题的讲解，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，使学生有知识迁移的基础。
二、练习与提高
1．图中的两条直线，的交点坐标可以看作方程组的解
答案：
2．在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。写出y与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
答案： 当x=4时，y=16.5
意图：通过练习1，强化函数与方程的关系，同时也是利用二元一次方程组确定一次函数解析式这一方法的训练，目的在于加强学生数形结合思想的应用，以及从图形中获取有用的信息，同时也是对本节课教学重点的强化。让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的；练习2是配合例1出的一个练习，目的是强化本节知识的重点“利用二元一次方程组确定一次函数解析式” 。
效果：通过学生的解答和老师的讲解，让学生掌握这类问题解决的一般方法，为课堂小结做好铺垫。
三、课堂小结
1．函数与方程之间的关系。
2．在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维。
3．掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
（1）用含字母的系数设出一次函数的表达式：；
（2）将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
（3）解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式。
意图和效果：让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理。
【作业布置】
一、习题
1．函数，当时，的值是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．－5
2．甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是 ，s是t的 函数。
3．已知y与x成正比例，且当x=1时，y=0.5，则函数关系式是 。
4．函数y=ax+b，当x=1时，y=1；当x=2时，y=-5．
（1）求a．b的值；（2）当x=0时，求函数值y；（3）当x取何值时，函数值y为0？
5．某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费60元，小车收费50元，若某天过往的大、小车辆为3000辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系及x的取值范围。
6．某地区电话的月租费为25元，可打50次电话（每次3分钟），超过50次后，超过的部分按每次0.2元收费，
（1）写出每月电话费y（元）与通话次数x（x＞50）的函数关系式；
（2）求出月通话150次的电话费；
（3）如果某月通话费53．6元，求该月的通话次数。
7．小明暑假第一次去北京。汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米/时。已知A地直达北京的高速公路全程570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离。若设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，求s与t的函数关系式。
二、参考答案
1． C；
2． ，一次函数；
3． ；
4． （1）a=－6，b=7；（2）y=7 ；（3）x=；
5． ，；
6．（1），x＞50；（2）45元；（3）193；
7． S=570-95t。
x（吨）
y（元）
15
20
39
27
O
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