北师大版八年级数学上册 1.3 勾股定理的应用课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
1.3勾股定理的应用
学习目标
1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短 路径” 的问题。树立转化思想。
2、会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。
3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角 形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
回顾与思考
1. ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24，　则 ABC的面积为　　　　　.
　　如何判断一个三角形为直角三角形的方法
是：　　　　　　　　　　　　　　　　.
较短的两边平方和等于最长边的平方
120
2.两点之间　　　最短.
线段
B
A
蚂蚁怎么走最近？
在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
以小组为单位，研究蚂蚁爬行的最短路线
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
A
B
A’
B
A
A’
O
怎样计算AB？
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
侧面展开图
=122+92
9cm
12cm
=225=152
所以蚂蚁爬行的最短路程是沿圆柱侧面爬行，距离是15cm.
∴AB=15
圆柱(锥)中的最值问题
例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC = 24 × = 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
2
1
B
A
C
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
∴AD和AB垂直.
解：
（2）
知2－讲
例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，
则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,
解得x=5.故滑道AC的长度为5m.
（来自教材）
做一做．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
方程思想是解决数学问题常用的重要思想
1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
感悟与收获
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
拓展1
A
B
10
10
10
B
C
A
正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
A
B
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.
C
A
B
C
2
1
如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
拓展2
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
A
B
2
3
A
B
1
C
3
2
1
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
解:
A
B
2
3
A
B
1
C
AB＝
＝
＝
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A
B
A1
B1
D
C
D1
C1
2
1
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
A
B
D
C
D1
C1
①
4
2
1
AC1 =√42+32 =√25 ;
②
A
B
B1
C
A1
C1
4
1
2
AC1 =√62+12 =√37 ;
A
B1
D1
D
A1
C1
③
4
1
2
AC1 =√52+22 =√29 .
长方体中的最值问题
做一做、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
20
10
15
B
C
A
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①② ),由勾股定理可求得图1中AB最短.
①
B
A
20
10
15
5
AB =√202+152 =√625
B
AB =√102+252 =√725
②
A
20
10
15
5
例5、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
5
3
1
5
12
台阶中的最值问题
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.
数学思想
平面图形
转化
展开
(2)实际问题
转化
建模
数学问题
(1)立体图形
作业：
1、习题1.4 3 4 题。
2、课堂精练对应练习。