2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形解答题专题训练（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形解答题专题训练（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 553.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-21 23:51:04 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》解答题专题训练（附答案）
1．（1）计算：2tan60° tan30°﹣4cos245°+sin60°；
（2）如图，在△ABC中，tanC＝，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sinB的值．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，．求sinA的值．
3．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
5．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+，CD＝2
（1）求∠ABD的值；
（2）求AD的长．
6．通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°＝ ；
（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
7．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，
求（1）AB的长；
（2）S△ABC．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长斜边BC到点D，使CD＝BC，联结AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝，BC＝12，求cosB的值．
12．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝3，求：AB、AC．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝．
（1）求边BC的长度；
（2）求cosA的值．
14．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求cot∠BAD的值．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
18．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．
20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．
（1）试求cosB的值；
（2）试求△BCD的面积．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；
（2）如果AC＝1，tanB＝，求∠CAD的正弦值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且＝，AD与BE相交于点F．求：
（1）边AB的长；
（2）的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求的值．
参考答案
1．解：（1）2tan60° tan30°﹣4cos245°+sin60°
＝2××﹣4×（）2+
＝2﹣4×+
＝2﹣2+
＝；
（2）作AE⊥BD于点E，
∵AB＝AD，CD＝2BD＝4，
∴BE＝DE＝1，
∴CE＝CD+DE＝5，
∵tanC＝，
∴，
∴AE＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sinB＝．
2．解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△CDB中，
∵sinB＝＝，
设CD＝4x，BC＝5x，
则BD＝3x，
∴AD＝10﹣3x，
在Rt△CDA中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD2，
即102＝（10﹣3x）2+（4x）2，
整理得：25x2﹣60x＝0，
解得：x＝2.4或x＝0（舍去），
∴CD＝4x＝9.6，
在Rt△CDA中，
sinA＝＝＝．
3．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
4．解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，．
∴
在Rt△ACB中，，
∴
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，，
AH＝AE cos45°＝，
∴，
∴EH＝AH＝，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，
即∠ACE的余切值是．
5．解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝2，
∴CE＝，DE＝3，
∵BC＝3+，
∴BE＝BC﹣CE＝3+﹣＝3，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF＝，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝3，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣＝，
∴在Rt△AFD 中，AD＝＝＝．
6．解：
（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，
∴cos∠B＝＝，
∴BD＝AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝AB，
故can30°＝＝；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，
∴AE＝＝3x，
∵S△ABC＝24，
∴BC×AE＝12x2＝24，
解得：x＝，
故AB＝AC＝5，BC＝8，
从而可得△ABC的周长为18．
7．解：（1）过点A作AD⊥BC于D．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，AC＝2，
∴AD＝DC＝2，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4．
（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4．BD＝AD＝2，
∴S△ABC＝ BC AD＝×2×（2+2）＝2+2．
8．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC＝，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴．
9．解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，
∵∠ACH＝∠BAC＝90°，
∴AB∥CH，
∴△DCH∽△DBA，
∴，
∴，
设CH＝k，
∴AB＝3k，
∴AC＝4k，
∴tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD的值为．
10．解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵，
∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，
∴
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴
11．解：∵tanC＝＝＝，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
在Rt△ABD中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝＝．
12．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝3，cos∠B＝，
∴BD＝cos∠B×BC＝×3＝3．
∵∠B＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD＝3．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan∠ACD＝，
∴AD＝tan∠ACD×CD＝×3＝，
∴AB＝AD+BD＝+3．
∵cos∠ACD＝，
∴AC＝＝＝2．
即：AB＝+3，AC＝2．
13．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，
∴BC＝2BD，
在Rt△ABD中，∵sinB＝，
∴AD＝ABsinB＝10×＝8，
∴BD＝＝＝6，
则BC＝2BD＝12；
（2）如图，过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC＝AC BH＝BC AD，
∴BH＝＝＝，
∴AH＝＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝．
14．解：（1）设AC＝3x，
∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，BC＝4x，
∵tan∠DAC＝，
∴CD＝2x，
∵BD＝4，BC＝CD+BD，
∴4x＝2x+4，
解得x＝2，
∴AC＝3x＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴cot∠BAD＝＝＝，
即cot∠BAD的值是．
15．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC＝BC＝9，
∴AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴＝＝＝，
∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．
16．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB＝，
BF＝BE cosB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
17．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC＝，BC＝2．
∴BF＝FC＝BC＝1，
在Rt△ACF中，cos∠ACB＝＝＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∴cos∠ACB＝，
∴CD＝BC cos∠ACB＝2×＝，
BD＝＝＝，
又∵∠A＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝＝，
∴EC＝AB＝，
答：EC的长为．
18．解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．
19．解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，
在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD＝＝，
∴DE＝BD＝，
∴BE＝＝，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．
20．解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，cosB＝＝；
（2）作DF⊥BC于F，如图，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，
设DF＝3x，则CF＝5x，
在Rt△ABE中，AE＝＝3，
∴tanB＝＝，
在Rt△BDF中，tanB＝＝，
而DF＝3x，
∴BF＝4x，
∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，
即9x＝8，解得x＝，
∴DF＝3x＝，
∴S△BCD＝×DF×BC＝××8＝．
21．解：
（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2
∴∠DAB＝2∠CAD
在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴∠DAB＝∠DBA
∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°
解得，∠CAD＝18°
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝＝，
∴BC＝2
由勾股定理得，AB＝＝＝
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴BE＝AE＝
∵∠DAE＝∠DBE
∴在Rt△ADE中
tan∠B＝tan∠DAE＝＝
∴DE＝
∴由勾股定理得
AD＝＝＝
∴cos∠CAD＝＝＝
∴sin∠CAD＝＝＝
则∠CAD的正弦值为
22．解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝5，
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝，
∴AB＝13；
（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，
∵EH∥BC，＝，
∴＝＝，
∵BD＝CD，
∴＝，
∵EH∥BC，
∴＝＝．
23．解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
24．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的余切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．
1．（1）计算：2tan60° tan30°﹣4cos245°+sin60°；
（2）如图，在△ABC中，tanC＝，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sinB的值．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，．求sinA的值．
3．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
5．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+，CD＝2
（1）求∠ABD的值；
（2）求AD的长．
6．通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°＝ ；
（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
7．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，
求（1）AB的长；
（2）S△ABC．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长斜边BC到点D，使CD＝BC，联结AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝，BC＝12，求cosB的值．
12．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝3，求：AB、AC．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝．
（1）求边BC的长度；
（2）求cosA的值．
14．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求cot∠BAD的值．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
18．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．
20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．
（1）试求cosB的值；
（2）试求△BCD的面积．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；
（2）如果AC＝1，tanB＝，求∠CAD的正弦值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且＝，AD与BE相交于点F．求：
（1）边AB的长；
（2）的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求的值．
参考答案
1．解：（1）2tan60° tan30°﹣4cos245°+sin60°
＝2××﹣4×（）2+
＝2﹣4×+
＝2﹣2+
＝；
（2）作AE⊥BD于点E，
∵AB＝AD，CD＝2BD＝4，
∴BE＝DE＝1，
∴CE＝CD+DE＝5，
∵tanC＝，
∴，
∴AE＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sinB＝．
2．解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△CDB中，
∵sinB＝＝，
设CD＝4x，BC＝5x，
则BD＝3x，
∴AD＝10﹣3x，
在Rt△CDA中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD2，
即102＝（10﹣3x）2+（4x）2，
整理得：25x2﹣60x＝0，
解得：x＝2.4或x＝0（舍去），
∴CD＝4x＝9.6，
在Rt△CDA中，
sinA＝＝＝．
3．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
4．解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，．
∴
在Rt△ACB中，，
∴
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，，
AH＝AE cos45°＝，
∴，
∴EH＝AH＝，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，
即∠ACE的余切值是．
5．解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝2，
∴CE＝，DE＝3，
∵BC＝3+，
∴BE＝BC﹣CE＝3+﹣＝3，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF＝，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝3，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣＝，
∴在Rt△AFD 中，AD＝＝＝．
6．解：
（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，
∴cos∠B＝＝，
∴BD＝AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝AB，
故can30°＝＝；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，
∴AE＝＝3x，
∵S△ABC＝24，
∴BC×AE＝12x2＝24，
解得：x＝，
故AB＝AC＝5，BC＝8，
从而可得△ABC的周长为18．
7．解：（1）过点A作AD⊥BC于D．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，AC＝2，
∴AD＝DC＝2，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4．
（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4．BD＝AD＝2，
∴S△ABC＝ BC AD＝×2×（2+2）＝2+2．
8．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC＝，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴．
9．解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，
∵∠ACH＝∠BAC＝90°，
∴AB∥CH，
∴△DCH∽△DBA，
∴，
∴，
设CH＝k，
∴AB＝3k，
∴AC＝4k，
∴tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD的值为．
10．解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵，
∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，
∴
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴
11．解：∵tanC＝＝＝，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
在Rt△ABD中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝＝．
12．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝3，cos∠B＝，
∴BD＝cos∠B×BC＝×3＝3．
∵∠B＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD＝3．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan∠ACD＝，
∴AD＝tan∠ACD×CD＝×3＝，
∴AB＝AD+BD＝+3．
∵cos∠ACD＝，
∴AC＝＝＝2．
即：AB＝+3，AC＝2．
13．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，
∴BC＝2BD，
在Rt△ABD中，∵sinB＝，
∴AD＝ABsinB＝10×＝8，
∴BD＝＝＝6，
则BC＝2BD＝12；
（2）如图，过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC＝AC BH＝BC AD，
∴BH＝＝＝，
∴AH＝＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝．
14．解：（1）设AC＝3x，
∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，BC＝4x，
∵tan∠DAC＝，
∴CD＝2x，
∵BD＝4，BC＝CD+BD，
∴4x＝2x+4，
解得x＝2，
∴AC＝3x＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴cot∠BAD＝＝＝，
即cot∠BAD的值是．
15．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC＝BC＝9，
∴AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴＝＝＝，
∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．
16．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB＝，
BF＝BE cosB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
17．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC＝，BC＝2．
∴BF＝FC＝BC＝1，
在Rt△ACF中，cos∠ACB＝＝＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∴cos∠ACB＝，
∴CD＝BC cos∠ACB＝2×＝，
BD＝＝＝，
又∵∠A＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝＝，
∴EC＝AB＝，
答：EC的长为．
18．解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．
19．解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，
在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD＝＝，
∴DE＝BD＝，
∴BE＝＝，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．
20．解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，cosB＝＝；
（2）作DF⊥BC于F，如图，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，
设DF＝3x，则CF＝5x，
在Rt△ABE中，AE＝＝3，
∴tanB＝＝，
在Rt△BDF中，tanB＝＝，
而DF＝3x，
∴BF＝4x，
∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，
即9x＝8，解得x＝，
∴DF＝3x＝，
∴S△BCD＝×DF×BC＝××8＝．
21．解：
（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2
∴∠DAB＝2∠CAD
在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴∠DAB＝∠DBA
∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°
解得，∠CAD＝18°
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝＝，
∴BC＝2
由勾股定理得，AB＝＝＝
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴BE＝AE＝
∵∠DAE＝∠DBE
∴在Rt△ADE中
tan∠B＝tan∠DAE＝＝
∴DE＝
∴由勾股定理得
AD＝＝＝
∴cos∠CAD＝＝＝
∴sin∠CAD＝＝＝
则∠CAD的正弦值为
22．解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝5，
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝，
∴AB＝13；
（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，
∵EH∥BC，＝，
∴＝＝，
∵BD＝CD，
∴＝，
∵EH∥BC，
∴＝＝．
23．解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
24．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的余切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．