2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形同步优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）
A． B．﹣1 C．2﹣ D．
3．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（　　）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（　　）
A． B． C． D．2
5．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（　　）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是　 　．
7．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为　 　．
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝　 　．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为　 　．
11．△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为　 　．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．
14．如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．（结果保留根号）
16．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD＝，求BE的值．
18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB+cosB的值．
21．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．求BC的长．
参考答案
1．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴，
∴CE＝x，DE＝，
∴AE＝，
∴tan∠CAD＝＝．
故选：D．
2．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD＝DC＝AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE＝∠C＝45°，
∴DE＝EC＝DC＝AC．
∴tan∠DBC＝＝＝．
故选：A．
3．解：∵cos∠B＝，
∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，
∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
4．解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC＝2，BC＝1，
则tanα＝＝．
故选：C．
5．解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，
又∵tanB＝，
∴AC＝BC tanB＝3tan50°．
故选：D．
6．解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为．
7．解：分三种情况：
①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，
∴AD＝，AB＝2，
∴AC＝2，
∴CD＝2+，
②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，
∴AD＝，AB＝2，
∴AC＝2，
∴CD＝2﹣，
③如图3，∠A为底角，
∵tan∠ABD＝，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝120°，
∴∠BCD＝60°
∵BD＝1，
∴CD＝；
④∠C为锐角且为顶角时，
如图4，∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵tan∠ABD＝，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，
∴这种情况不存在；
综上所述；CD的长为：2或2﹣或，
故答案为：2或2﹣或．
8．解：过点A作AD⊥BC于D，如图
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，
∵sin∠ABC＝＝0.8，
∴AD＝5×0.8＝4，
则BD＝＝3，
∴BC＝BD+CD＝3+3＝6．
故答案为：6．
9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
所以tanB＝，即tan37°＝，
所以AC＝32 tan37°＝32×0.75＝24．
故答案为：24．
10．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+．
故答案为：3+．
11．解：①如图1，
过点B作BD⊥AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BD＝AB，
∵AB＝4，
∴BD＝2，
∴AD＝2，
∵BC＝3，
∴CD＝，
∴S△ABC＝AC BD＝×（2+）×2＝2+；
②如图2，
过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
∵∠BAC＝30°，
∴BD＝AB，
∵AB＝4，
∴BD＝2，
∵BC＝3，
∴CD＝，
∴AD＝2，
∴AC＝2﹣，
∴S△ABC＝AC BD＝×（2﹣）×2＝2﹣．
综上所述，满足条件的△ABC的面积为2+或2﹣．
12．解：∵cosB＝，即cos30°＝，
∴AB＝＝＝4．
故答案为：4．
13．解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4．
在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4，
∴BC＝BD+DC＝4+4．
14．解：∵Rt△ABC中，AC＝12cm，∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝12（cm），
∵Rt△ACD中，AC＝12cm，∠DAC＝60°，
∴tan∠DAC＝，
∴CD＝AC×tan∠DAC＝12×tan60°＝12（cm），
∴BD＝CD﹣BC＝（12﹣12）cm．
答：另一条直角边没有重叠部分BD的长为（12﹣12）cm．
15．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝BC，
在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，
解得：BC＝2（+1）．
16．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC＝，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC cosC＝1，
∴AE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2，
∴DE＝CD﹣CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝．
17．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACH＝90°
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得AC＝CH，
∴CH：AC＝1：，
∴sinB＝；
（2）∵sinB＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
∵∠CAH＝∠B，
∴sin∠CAH＝sinB＝＝，
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝2，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
18．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3；
（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．
19．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝．
20．解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴tanA＝＝＝，
∴AD＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8．
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝＝10，
∴sinB＝＝，cosB＝＝，
∴sinB+cosB＝+＝．
故答案为：
21．解：在Rt△ABD中，∵，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴．
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝+1．