2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6 利用三角函数测高 同步练习题(word版含答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）
1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　）
A．50 B．51 C．50+1 D．101
2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（　　）
A．100m B．50m C．50m D．m
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
4．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（　　）
A．20米 B．米 C．米 D．米
5．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（　　）
A．m B．100m C．150m D．m
6．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（　　）
A．82米 B．163米 C．52米 D．30米
7．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　 　m（结果保留根号）．
8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为　 　米．
9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　 　m（结果不作近似计算）．
10．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为　 　m．（小兰身高忽略不计，取）
11．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为　 　米．
12．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
13．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
14．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
15．军方派出搜救船在失事海域搜寻飞机残骸和黑匣子（如图）．在海面A处搜救船测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续直线航行2千米后再次在B处测得俯角为45°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底C处距离海面的深度？（参考数据：）
16．如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．
（1）用含α、β和m的式子表示h；
（2）当α＝45°，β＝60°，m＝50米时，求h的值．
（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）
17．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2021米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：＝1.732，＝1.414）
18．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
19．如图，在与河对岸平行的南岸边有A、B、D三点，A、B、D三点在同一直线上，在A点处测得河对岸C点在北偏东60°方向；从A点沿河边前进200米到达B点，这时测得C点在北偏东30°方向，求河宽CD．
20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）
21．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．
（参考数据＝1.732）
22．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
23．某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）
24．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE＝1.5米，CD＝30米，求塔高AB．（保留根号）
25．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
参考答案
1．解：设AG＝x米，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG＝，
∴EG＝＝x（m），
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x（m），
∴x﹣x＝100，
解得：x＝50．
则AB＝（50+1）米．
故选：C．
2．解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．
故选：A．
3．解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，
故CP＝AP＝40（海里），
则PB＝＝40（海里）．
故选：A．
4．解：∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB＝2EG＝30米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
则BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF＝BC＝10米，
则FD＝AF tanβ＝10×＝10米，
综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．
故选：A．
5．解：AD＝AB sin60°＝50；
BD＝AB cos60°＝50，∴CD＝150．
∴AC＝＝100．
故选：D．
6．解：设楼高AB为x．
在Rt△ADB中有：DB＝＝x，
在Rt△ACB中有：BC＝＝x．
而CD＝BD﹣BC＝（﹣1）x＝60，
解得x≈82．故选：A．
7．解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB tan30°＝30×＝10（米）．
∴楼的高度AC为10米．
故答案为：10．
8．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×25＝750（米），
∴AD＝AC sin45°＝375（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750（米）．
故答案为：750．
9．解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，
∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，
在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），
在Rt△ADE中，AE＝DE tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．
故答案为：12．
10．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝50m．
∴DC＝BD sin60°＝50×＝43.3．
故答案为：43.3．
11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，
则AE＝CD＝6米，AC＝DE．
设BE＝x米．
在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝BE＝x米，
∴AC＝DE＝x米．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝×x＝3x米，
∵AB﹣BE＝AE，
∴3x﹣x＝6，
∴x＝3，
AB＝3×3＝9（米）．
即旗杆AB的高度为9米．故答案为9．
12．解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，
∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，
∴设EF＝x，则FC＝x，
∵CE＝20米，
∴x2+（x）2＝400，
解得：x＝10，
则FC＝10m，
∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，
∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，
答：建筑物AB的高为（35+10）m．
13．解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，
∵在Rt△AEC中，CE＝AE tan60°＝x，
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，
∴AE+BE＝x+x＝100（3+），解得x＝100，
∴AC＝2x＝200．
在△ACD中，
∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，
∴∠ACD＝45°．
过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y+y＝200，解得y＝100（3﹣），
∴AD＝2y＝200（3﹣）．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；
（2）∵由（1）可知，DF＝AF＝×100（3﹣）≈219．
∵219＞200，
∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．
14．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000米，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000米，
∴AB＝BD﹣AD＝2000米．
答：此时渔政船和渔船相距2000米．
15．解：过C作CD垂直AB于D点，
设CD为x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，AC＝CD＝2x，AD＝AB+CD＝2+x，
∴在Rt△ACD中有：（2+x）2+x2＝（2x）2，
∴（舍去）．
答：海底C处距海面2.732千米．
16．解：
（1）在Rt△ABC中，有BC＝AB÷tanα＝；
同理：在Rt△ABD中，有BD＝AB÷tanβ＝；
且CD＝BC﹣BD＝m；即﹣＝m；
故h＝，
（2）将α＝45°，β＝60°，m＝50米，代入（1）中关系式可得
h＝，
＝，
＝75米+25米，
≈118.3米．
17．解：设CF＝x米，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，
∴BC＝CF＝x米，
＝tan30°，
即AC＝x米，
∵AC﹣BC＝1200米，
∴x﹣x＝1200，
解得：x＝600（+1），
则DF＝h﹣x＝2021﹣600（+1）≈382（米）．
答：钓鱼岛的最高海拔高度约382米．
18．解：根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴BD＝AD﹣AB＝CD﹣112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝36°，
∴tan36°＝，
∴BD＝CD tan36°，
∴CD tan36°＝CD﹣112，
∴CD＝≈≈415（m）．
答：天塔的高度CD约为：415m．
19．解：根据题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝200米，CD⊥AB，
则∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，
则BC＝AB＝200米，
在Rt△CBD中，CD＝BC sin60°＝200×＝100（米）．
答：河宽CD为100米．
20．解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝（x+100）m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，
即tan30°＝，
∴，
3x＝（x+100），
解得x＝50+50＝136.6，
∴CD＝CE+ED＝136.6+1.5＝138.1≈138（m）．
答：该建筑物的高度约为138m．
21．解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵A在B北偏东60°方向上，
∴∠ABD＝30°，
又∵A在C北偏东30°方向上，
∴∠ACD＝60°
又∵∠ABC＝30°，所以∠BAC＝30°，
∴∠ABD＝∠BAC，所以AC＝BC
∵BC＝120，所以AC＝120
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝120，
∴CD＝60，AD＝
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，
∴AB＝
第一组时间：
第二组时间：
因为207.84＞150所以第二组先到达A处．
答：第二组先到．
22．解：有触礁危险．
理由：过点P作PD⊥AC于D．
设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD＝90°﹣45°＝45度．
∴BD＝PD＝x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°
∴AD＝x
∵AD＝AB+BD∴x＝12+x
∴x＝
∵6（+1）＜18
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
23．解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，
则∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∠ADE＝60°，CD＝18，
设线段AE的长为x米，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝45°，
∴CE＝x，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝tan60°＝，
∴DE＝x，
∵CD＝18，且CE﹣DE＝CD，
∴x﹣x＝18，
解得：x＝27+9，
∵BE＝1米，
∴AB＝AE﹣BE＝（26+9）（米）．
答：塔AB的高度是（26+9）米．
24．解：设AF＝x；
在Rt△AGF中，有GF＝＝x，
同理在Rt△AEF中，有EF＝＝x．
结合图形可得：GE＝CD＝EF﹣GF＝30
即x﹣x＝30，
解可得：x＝15；故AB＝15+
答：塔高AB为15+米．
25．解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD tan30°＝x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝x．
∵BD+CD＝BC，
∴x+x＝150，
∴x＝75（3﹣）≈95．
即A点到河岸BC的距离约为95m．