2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质同步达标测试(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质同步达标测试(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 231.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-21 23:12:14 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》
同步达标测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列三个函数：①y＝x+1；②y＝；③y＝x2．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A．y＝﹣x2 B． C． D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④2a﹣b＝0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若二次函数y＝﹣2x2上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）在这条抛物线上，且x1＞x2＞0，则（ ）
A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法比较
5．二次函数y＝ax2的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A．y＝a（x﹣2）2+3 B．y＝a（x﹣2）2﹣3
C．y＝a（x+2）2+3 D．y＝a（x+2）2﹣3
6．二次函数y＝﹣x2﹣8x+c的最大值为0，则c的值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16
7．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0有实数根；③a+b+c＞0；④的最大值为1．其中结论正确的为（ ）
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①③④
10．若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（ ）
A．有1个 B．有2个 C．有3个 D．有无穷多个
11．把抛物线y＝2（x+4）2﹣2绕原点旋转180°后所得的图象的关系式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2+2
C．y＝﹣2（x+4）2﹣2 D．y＝2（x﹣4）2﹣2
12．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或3
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m＝ ．
14．若二次函数y＝kx2+k2﹣3有最大值1，则k的值是 ．
15．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为 ．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ．
18．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为 ．
19．将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
20．如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD＝12时，四边形ABCD的面积最大值是 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）．
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的解析式，并指出x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
22．已知点A（π，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2﹣3上的三个点．
（1）试比较y1、y2、y3的大小；
（2）已知x满足﹣2≤x≤1，求y的最大值和最小值．
23．y＝﹣2x2+4x+1，且2≤x≤4，求y的最大值，如有最小值，再求出最小值．
24．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝ ，当x＜﹣1时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．
26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
27．已知直线l与抛物线y＝ax2﹣2x+c（a＞0）的一个公共点A恰好在x轴上，点B（4，m）在抛物线上．
（Ⅰ）用含a的代数式表示c．
（Ⅱ）抛物线在A，B之间的部分（不包含点A，B）记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：①y＝x+1图象是一条直线，是轴对称图形，是中心对称图形，故①符合题意；
②图象是双曲线，故②符合题意；
③图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，故③不符合题意；
故选：C．
2．解：∵＞1＞＞﹣，
∴|﹣|＞|﹣1|＞|﹣|＞|﹣|，
∴同一水平线上开口最大的抛物线是y＝﹣x2．
故选：B．
3．解：①由图示知，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0．故①正确；
②由图示知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故②错误；
③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＜0．
故③正确；
④由图示知，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0．故④错误．
综上所述，正解的结论有：①③，共2个．
故选：B．
4．解：∵二次函数y＝﹣2x2，
∴当x＜0时，y随x的增大增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵二次函数y＝﹣2x2上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）在这条抛物线上，且x1＞x2＞0，
∴y1＜y2，
故选：C．
5．解：∵二次函数y＝ax2的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，
∴新函数的顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴新函数表达式为y＝a（x+2）2﹣3．
故选：D．
6．解：y＝﹣x2﹣8x+c＝﹣（x﹣4）2+16+c，
∵最大值为0，
∴16+c＝0，
解得c＝﹣16．
故选：C．
7．解：解得或．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；
故选：D．
8．解：∵＝2
∴1+1﹣az＝2（2﹣z）
∴（2﹣a）z＝2
∴z＝
关于z的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣a＞0
∴a＜2
但该分式方程当z＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴a≥﹣4
∴﹣4≤a＜2，且a≠1
符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选：C．
9．解：∵b＞a＞0，
∴x＝﹣＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝0，
∴b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根，②错误；
∵a＞0，抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，③正确；
x＝﹣1时，y≥0，
∴a﹣b+c≥0，
∴b﹣a≤c，
∴≤1，即的最大值为1，④正确；
故选：D．
10．解：对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）一定过点（﹣2，0），（1，0），
当x0﹣3＝﹣2时，x0﹣5＝﹣4，
当x0﹣3＝1时，x0﹣5＝﹣1，
即对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（﹣2，﹣4），（1，﹣1），
当x0﹣5＝0时，x0＝5，此时x0﹣3＝2，当x＝2时，y＝4a，
∵a为非零实数，则4a≠0，
∴对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（2，0），
故选：C．
11．解：由抛物线y＝2（x+4）2﹣2可知，抛物线的顶点坐标是（﹣4，﹣2），其关于原点对称的坐标为（4，2）
故绕原点旋转180°后得到的图象为：y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故选：B．
12．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．解：∵抛物线是二次函数的图象，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得m＝﹣1或m＝5，
又顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
14．解：∵二次函数y＝kx2+k2﹣3有最大值1，
∴k＜0，k2﹣3＝1，
解得，k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
16．解：∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8＝a（x﹣5）2﹣25a+8，
∴该抛物线的顶点的横坐标是x＝5，当x＝0时，y＝8，
∴点D的坐标为：（0，8），
∴OD＝8，
∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，CD∥AB∥x轴，
∴CD＝5×2＝10，
∴AD＝10，
∵∠AOD＝90°，OD＝8，AD＝10，
∴AO＝＝＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝10﹣AO＝10﹣6＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）
17．解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，
∴对称轴x＝，
∴﹣＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；错误；
②当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；
④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（，b+1+），
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴AP的直线解析式是y＝x+1，
∴b+1+＝+1，
∴b＝﹣2或0，
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形．
④错误；
故答案为②③．
18．解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，得
（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x＝1对称，
m﹣1＝1﹣（﹣1），
解得m＝3，
故答案为：3．
19．解：∵二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，2），
∴所得图象的函数表达式是y＝x2+2．
故答案为：y＝x2+2．
20．解：∵AC与BD所成的锐角为45°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin45°，
设AC＝x，则BD＝12﹣x，
所以S＝x（12﹣x）×＝﹣（x﹣6）2+9，
所以当x＝6，S有最大值9．
故答案为：9．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：（1）点P（1，m）在y＝2x﹣1的图象上
∴m＝2×1﹣1，解得m＝1，把（1，1）代入y＝ax2
∴a＝1
（2）二次函数表达式：y＝x2
因为函数y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大．
22．解：（1）抛物线y＝2（x+1）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵a＝2＞0，
∴x≤﹣1时，y随x的增大而减小，x≥﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1；
（2）∵﹣2≤x≤1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，x＝1时，y有最大值，
∴y最小＝﹣3，
y最大＝2（1+1）2﹣3＝5．
23．解：当x＝2时，y＝1，
当x＝2时，y＝﹣15，
又∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3．
∴x＝1时，y最大值＝3，
综上所述若2≤x≤4时，y＝﹣2x2+4x+1的最大值是1、最小值是﹣15．
24．解：（1）化简函数y＝，
当x≥﹣1时，y＝＝x，当x＜﹣1时y＝＝﹣1
故答案为x，﹣1；
（2）图象如图所示．
（3）函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一）
故答案为 函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
（3）由图象可知，当a≤0或a≥1时，函数y＝ax+1与y＝的只有一个交点，即关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根．
故答案为a≤0或a≥1．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+3a＝0，
∴b＝4a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；
（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，
∴B（0，4），C（﹣2，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴3a≥4，
解得a≥，
②a＜0时，如图2，
将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣a≥2，
解得a≤﹣2；
综上所述，a≥或a≤﹣2．
26．解：（1）根据题意知S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×24﹣×4x×（12﹣2x）
＝4x2﹣24x+144，
由12﹣2x＞0得x＜6，
∴0＜x＜6；
（2）y＝4x2﹣24x+144＝4（x﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108．
27．解：（Ⅰ）当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为（﹣2，0），
把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，
所以c＝﹣4a﹣4；
（Ⅱ）当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B（4，12a﹣12），
当x＝4时，y＝x+1＝3，
因为图形G在直线l下方，
所以12﹣12a＜3，
解得a＜，
所以a的取值范围为0＜a＜．
同步达标测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列三个函数：①y＝x+1；②y＝；③y＝x2．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A．y＝﹣x2 B． C． D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④2a﹣b＝0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若二次函数y＝﹣2x2上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）在这条抛物线上，且x1＞x2＞0，则（ ）
A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法比较
5．二次函数y＝ax2的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A．y＝a（x﹣2）2+3 B．y＝a（x﹣2）2﹣3
C．y＝a（x+2）2+3 D．y＝a（x+2）2﹣3
6．二次函数y＝﹣x2﹣8x+c的最大值为0，则c的值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16
7．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0有实数根；③a+b+c＞0；④的最大值为1．其中结论正确的为（ ）
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①③④
10．若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（ ）
A．有1个 B．有2个 C．有3个 D．有无穷多个
11．把抛物线y＝2（x+4）2﹣2绕原点旋转180°后所得的图象的关系式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2+2
C．y＝﹣2（x+4）2﹣2 D．y＝2（x﹣4）2﹣2
12．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或3
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m＝ ．
14．若二次函数y＝kx2+k2﹣3有最大值1，则k的值是 ．
15．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为 ．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ．
18．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为 ．
19．将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
20．如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD＝12时，四边形ABCD的面积最大值是 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）．
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的解析式，并指出x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
22．已知点A（π，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2﹣3上的三个点．
（1）试比较y1、y2、y3的大小；
（2）已知x满足﹣2≤x≤1，求y的最大值和最小值．
23．y＝﹣2x2+4x+1，且2≤x≤4，求y的最大值，如有最小值，再求出最小值．
24．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝ ，当x＜﹣1时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．
26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
27．已知直线l与抛物线y＝ax2﹣2x+c（a＞0）的一个公共点A恰好在x轴上，点B（4，m）在抛物线上．
（Ⅰ）用含a的代数式表示c．
（Ⅱ）抛物线在A，B之间的部分（不包含点A，B）记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：①y＝x+1图象是一条直线，是轴对称图形，是中心对称图形，故①符合题意；
②图象是双曲线，故②符合题意；
③图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，故③不符合题意；
故选：C．
2．解：∵＞1＞＞﹣，
∴|﹣|＞|﹣1|＞|﹣|＞|﹣|，
∴同一水平线上开口最大的抛物线是y＝﹣x2．
故选：B．
3．解：①由图示知，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0．故①正确；
②由图示知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故②错误；
③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＜0．
故③正确；
④由图示知，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0．故④错误．
综上所述，正解的结论有：①③，共2个．
故选：B．
4．解：∵二次函数y＝﹣2x2，
∴当x＜0时，y随x的增大增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵二次函数y＝﹣2x2上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）在这条抛物线上，且x1＞x2＞0，
∴y1＜y2，
故选：C．
5．解：∵二次函数y＝ax2的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，
∴新函数的顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴新函数表达式为y＝a（x+2）2﹣3．
故选：D．
6．解：y＝﹣x2﹣8x+c＝﹣（x﹣4）2+16+c，
∵最大值为0，
∴16+c＝0，
解得c＝﹣16．
故选：C．
7．解：解得或．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；
故选：D．
8．解：∵＝2
∴1+1﹣az＝2（2﹣z）
∴（2﹣a）z＝2
∴z＝
关于z的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣a＞0
∴a＜2
但该分式方程当z＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴a≥﹣4
∴﹣4≤a＜2，且a≠1
符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选：C．
9．解：∵b＞a＞0，
∴x＝﹣＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝0，
∴b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根，②错误；
∵a＞0，抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，③正确；
x＝﹣1时，y≥0，
∴a﹣b+c≥0，
∴b﹣a≤c，
∴≤1，即的最大值为1，④正确；
故选：D．
10．解：对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）一定过点（﹣2，0），（1，0），
当x0﹣3＝﹣2时，x0﹣5＝﹣4，
当x0﹣3＝1时，x0﹣5＝﹣1，
即对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（﹣2，﹣4），（1，﹣1），
当x0﹣5＝0时，x0＝5，此时x0﹣3＝2，当x＝2时，y＝4a，
∵a为非零实数，则4a≠0，
∴对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（2，0），
故选：C．
11．解：由抛物线y＝2（x+4）2﹣2可知，抛物线的顶点坐标是（﹣4，﹣2），其关于原点对称的坐标为（4，2）
故绕原点旋转180°后得到的图象为：y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故选：B．
12．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．解：∵抛物线是二次函数的图象，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得m＝﹣1或m＝5，
又顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
14．解：∵二次函数y＝kx2+k2﹣3有最大值1，
∴k＜0，k2﹣3＝1，
解得，k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
16．解：∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8＝a（x﹣5）2﹣25a+8，
∴该抛物线的顶点的横坐标是x＝5，当x＝0时，y＝8，
∴点D的坐标为：（0，8），
∴OD＝8，
∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，CD∥AB∥x轴，
∴CD＝5×2＝10，
∴AD＝10，
∵∠AOD＝90°，OD＝8，AD＝10，
∴AO＝＝＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝10﹣AO＝10﹣6＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）
17．解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，
∴对称轴x＝，
∴﹣＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；错误；
②当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；
④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（，b+1+），
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴AP的直线解析式是y＝x+1，
∴b+1+＝+1，
∴b＝﹣2或0，
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形．
④错误；
故答案为②③．
18．解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，得
（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x＝1对称，
m﹣1＝1﹣（﹣1），
解得m＝3，
故答案为：3．
19．解：∵二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，2），
∴所得图象的函数表达式是y＝x2+2．
故答案为：y＝x2+2．
20．解：∵AC与BD所成的锐角为45°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin45°，
设AC＝x，则BD＝12﹣x，
所以S＝x（12﹣x）×＝﹣（x﹣6）2+9，
所以当x＝6，S有最大值9．
故答案为：9．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：（1）点P（1，m）在y＝2x﹣1的图象上
∴m＝2×1﹣1，解得m＝1，把（1，1）代入y＝ax2
∴a＝1
（2）二次函数表达式：y＝x2
因为函数y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大．
22．解：（1）抛物线y＝2（x+1）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵a＝2＞0，
∴x≤﹣1时，y随x的增大而减小，x≥﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1；
（2）∵﹣2≤x≤1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，x＝1时，y有最大值，
∴y最小＝﹣3，
y最大＝2（1+1）2﹣3＝5．
23．解：当x＝2时，y＝1，
当x＝2时，y＝﹣15，
又∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3．
∴x＝1时，y最大值＝3，
综上所述若2≤x≤4时，y＝﹣2x2+4x+1的最大值是1、最小值是﹣15．
24．解：（1）化简函数y＝，
当x≥﹣1时，y＝＝x，当x＜﹣1时y＝＝﹣1
故答案为x，﹣1；
（2）图象如图所示．
（3）函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一）
故答案为 函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
（3）由图象可知，当a≤0或a≥1时，函数y＝ax+1与y＝的只有一个交点，即关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根．
故答案为a≤0或a≥1．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+3a＝0，
∴b＝4a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；
（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，
∴B（0，4），C（﹣2，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴3a≥4，
解得a≥，
②a＜0时，如图2，
将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣a≥2，
解得a≤﹣2；
综上所述，a≥或a≤﹣2．
26．解：（1）根据题意知S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×24﹣×4x×（12﹣2x）
＝4x2﹣24x+144，
由12﹣2x＞0得x＜6，
∴0＜x＜6；
（2）y＝4x2﹣24x+144＝4（x﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108．
27．解：（Ⅰ）当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为（﹣2，0），
把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，
所以c＝﹣4a﹣4；
（Ⅱ）当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B（4，12a﹣12），
当x＝4时，y＝x+1＝3，
因为图形G在直线l下方，
所以12﹣12a＜3，
解得a＜，
所以a的取值范围为0＜a＜．