2021-2022学年京改版 八年级数学上册12.7.2 直角三角形全等的判定 课后培优练习(word版含答案)

12.7.2 直角三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．12
3．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
4．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且 CE=DF，AC=BD，那么 Rt△AEC≌Rt△BFD 的理由是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，则判定ABC≌BAD全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
6．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
7．如图，，，垂足分别是，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知、、三点共线，、分别垂直于，垂足为点、，，如果添加的条件判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
10．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于S，①AS＝AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP．其中正确的是（　　）
A．全部正确 B．①和② C．① D．②
11．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
12．如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM＝PN；②AM＝AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM＝90°．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，在和中，，，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C．平分 D．平分
二、填空题
14．如图，在中，于点D，要使，若直接根据“”判定，还需要再添加的一个条件是__________．
15．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件________，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
16．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，交OE于点F．若∠AOB＝60°，则OE，EF之间的数量关系是 ___．
17．如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若DBE的周长为20，则AB＝________．
18．如图，在和中，，，若，则__________．
三、解答题
19．如图，已知BEDF，，，，A、E、F、C在同一直线上．
（1）求证：；
（2）若，BE＝4，求BC的长．
20．如图，AC和BD交于点O，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
21．如图，已知是的边上的高，点为上一点，且，．
（1）证明：；
（2）若，，求的面积．
参考答案
1．D
解：添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴ (HL)．
故选：D．
2．C
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
故选：C．
3．B
解：根据题意可得，，，
根据全等三角形的判定方法可得
故选B
4．A
证明：在Rt△ACE与Rt△BDF中，
∵AE=BF，AC=BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．
故选：A．
5．D
解：∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC和△BAD均为直角三角形
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
故选：D．
6．D
解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴△OPM≌△OPN
所用的判定定理是HL．
故选D.
7．D
证明：，，
，
在和中，
，
，
∴，
在中，,
∴，
∴,
故选：D．
8．D
解：∵、分别垂直于，
∴，
∵，，
∴利用HL证明，
故选：D．
9．C
解：A、若一个锐角和斜边分别对应相等，可用AAS证这两个直角三角形全等，故选项说法正确，不符合题意；
B、若两条直角边对应相等，可用SAS证这两个直角三角形全等，故选项说法正确，不符合题意；
C、若两个锐角对应相等，不能证这两个直角三角形全等，故选项说法错误，符合题意；
D、若斜边和一条直角边对应相等，可用HL证这两个直角三角形全等，故选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
10．B
解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，PR＝PS．
∴AP为∠BAC的角平分线，
在△APR与△APS中，
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AR＝AS，故本小题正确；
②∵AP为∠BAC的角平分线，
∴∠RAP＝∠QAP，
∵AQ＝PQ，
∴∠QAP＝∠QPA，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR，故本小题正确；
③△BRP与△QSP只有一组边PR＝PS，一组角∠PSQ＝∠PRB＝90°，
全等的条件不够，没法证明其全等，故本小题错误．
综上所述，①②正确．
故选：B．
11．A
∵，，，，
∴，
同理可证明．
故选A．
12．A
解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∴PM＝PN，故①正确
在Rt△APM和Rt△APN中
，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），故③正确，
∴AM＝AN，故②正确，
∴∠APM＝∠APN，
∵∠PAN+∠APN＝90°，
∴∠PAN+∠APM＝90°，故④正确，
终上所述：正确的有4个．
故选：A．
13．B
解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴AB=AD，AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，
故B说法错误，符合题意．
故选：B．
14．
解：还需要添加的条件是，
∵于D，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：．
15．AB＝DE
解：∵△ABC和△DEF均为直角三角形，且AC＝DF，
∴需要增加它们的斜边对应相等即可利用“HL”定理，即：AB＝DE；
故答案为：AB＝DE．
16．
∠AOB＝60°，OE是∠AOB的平分线
又 EC⊥OB，ED⊥OA，
在与中
在的垂直平分线上
即
故答案为：．
17．20
解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
又
∴△ACD≌△AED，
∴CD=DE，AE=AC，
∴△DBE的周长
=DE+EB+DB
=CD+DB+EB
=BC+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB
=20cm．
故答案为：20.
18．
证明：在Rt△CAB和Rt△DAB中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DAB（HL）．
∴AD＝AC＝6．
故答案为．
19．（1）见解析；（2）8
（1）证明：∵，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，，
∴，
，，，
．
20．证明见解析．
证明：∵∠A＝∠D＝90°，
在Rt△BAC与Rt△CDB中，，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC．
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）证明：延长与交于点，
∵是的边上的高，
，
在和中，
，
，
，
∵∠BED=∠AEF
，
，
∴，
即．
（2）解：由（1）可得，
，，
而，
，
，
，
即的面积为．