2021-2022学年京改版数学九年级上册20.4 解直角三角形 课后培优(word版含答案)

20.4 解直角三角形
一、单选题
1．在锐角中，，，则底边BC的长为（ ）．
A．6 B．8 C．12 D．16
2．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα米 B．米 C．米 D．米
4．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）
A． B． C．150m D．100m
6．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝13米，则树的高AB（单位：米）为（　　）
A． B． C．13tan37° D．13sin37°
7．如图，小丽为了测量校园里教学楼 的高度．将测角仪 竖直放置在与教学楼水平距离为 的地面上，若测角仪的高度是 ，测得教学楼的顶部 处的仰角为 ，则教学楼的高度约是（ ）
0
A． B． C． D．
8．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m．
A． B． C． D．
10．甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线分别为，线与地平面所成的角分别为，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
11．如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学小组想测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶点的仰角为，则旗杆的高度为（ ）米
A． B． C． D．
12．如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（ ）
A． B． C． D．
13．在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面__cm，，
17．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离米，眼镜与底面的距离米，视线与水平线的夹角为，已知，则点D到底面的距离是_______米．
18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_________m（结果保留根号）
19．如图，点P，A，B，C在同一平面内，点A，B，C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 ___千米．
20．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．
三、解答题
21．某学校A位于工地O的正西方向，且，一辆货车从O处出发，以的速度沿北偏西方向行驶．已知货车的噪声污染半径为，那么学校是否在该货车噪声污染范围内？若在，则学校受该货车噪声污染的时间有几秒？（结果精确到）
22．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
23．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
24．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为 　 　．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
参考答案
1．D
如图，过点作于点，
中，，，
，，
设，则，
，
解得，
，
．
故选D．
2．D
解：如图，过B作BC⊥桌面于C，
由题意得：AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC5，
∴这个斜坡的坡度i1：，
故选：D．
3．B
解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选：B．
4．B
解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=米，
∴米．
故选：B．
5．B
解：如图：
∵B在A的北偏西60°方向，且C在B的正南方向，
∴∠B=60°，
在Rt△ABD中，AD=AB sin60°=，BD=AB cos60°=50m，
∴CD=BC-BD=150m．
∴．
故选B．
6．C
解：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=13米，
∴tanC=，
∴AB=BC tanC=13tan37°．
故选C．
7．A
解：如图，作 于点 ，
由题意知，四边形是矩形，
∴，，
在中，，
，
．
故选A．
8．A
解：过作于，于，
，，
斜坡的斜面坡度，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
9．D
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝，
∴BC＝2DC＝，
故选：D．
10．B
解：根据三角函数的定义可以得到，甲、乙、丙三人风筝的高度分别为、、，
，
，
∵
∴所放风筝最高的是乙
故选为B
11．C
由图可知四边形是矩形，则，，
，
，
．
故选C．
12．D
解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；
在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；
D不能表示tanB；
故选：D．
13．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE＝，
CF＝EF﹣EC＝﹣1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1，
∴BF＝+1，
∵tanF＝tan∠EDC＝，
∴，故④正确，
故选：B．
14．D
解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，
，
，
，
又∵，
，
∴，，
，，
，
∴在中，，
，
，
．
故选：D．
15．A
解：由已知得：，
∴，
故选A．
16．21.15
解：过最高点作桌面的垂线，过流水口作桌面的垂线，作于点，如图所示，
在中，有，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：21.15．
17．3.2
解：由题意可得：，
解得
故答案为3.2
18．
解：由题意可得：∠BDA＝45°，
在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，
∴AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
19．
解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA=90°，∠PAC=30°，
∵AP=12千米，
∴PC=6千米，AC=6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB=90°，PC=6千米，
∴∠PBC=60°，
∴千米，
∴（千米），
故答案为：．
20．
解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，
∵∠ADE＝30°，
∴∠AFB＝30°，
∵CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，
∴tan∠DCG＝＝＝，
∴∠DCG＝30°，
∴DG＝3m，CG＝3m，
∴∠DFC＝∠DCF＝30°，
∴DF＝DC，
∵DG⊥BF，
∴FG＝CG＝3m，
∴FC＝6m，
∴FB＝FC+BC＝（6+9）m，
∴AB＝BF×tan∠AFB＝（6+9）×＝（6+3）m．
故答案为：（6+3）m．
21．在噪声污染范围内，约．
解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，
∵∠MON＝53°，
∴∠AOM＝90° 53°＝37°．
在Rt△ABO中，
∵sin∠AOB＝，
∴AB＝AO sin∠AOB＝200×sin37°≈120（m）．
∵120m＜130m．
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
设货车在C点时刚好对学校产生污染，在D点时污染刚好消失，如图所示，
如图，假设AD＝AC＝130m，
∵，
∴B为CD的中点，即BC=DB，
∴BC＝=50m，
∴BD＝2BC=100m，
∴t＝＝＝20s．
即：学校受噪声污染的时间为20秒.
22．（1）20m；（2）21.6m
（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，CB= 10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）如图，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，则EN＝DN tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
23．（1）BC=18>16，在暗礁区域外；（2）C到AB的距离为，小于16，继续向东有危险
解：（1）作CD⊥AB于D点，
设BC为x海里，
在Rt△BCD中∠CBD＝60°，
∴BD＝ x海里．CD＝x海里．
在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，
∴＝．
解得x＝18．
∵18>16，
∴点B是在暗礁区域外；
（2）∵CD＝x＝9海里，
∵9＜16，
∴若继续向东航行船有触礁的危险．
24．（1）①；②124mm；（2）33.4°
解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE，
则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD sin60°＝70×＝35．
②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm，
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64≈124mm．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．