4.2 一次函数与正比例函数（共24张PPT）

(共24张PPT)
4.2一次函数与正比例函数
2021-2022学年八年级数学上册同步（北师版）
第四章 一次函数
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
2.能根据所给条件，写出简单的一次函数、正比例函数表达式。
学习目标
　
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什么叫函数 函数的表达方式有哪些？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
一次函数与正比例函数
x/kg 1 2 3 4 5 …
y/cm …
（1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm.
问题1
解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x.
分析： 它们之间的数量关系是:
弹簧长度=原长+增加的长度
探究新知
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
y=0.12x
z = 60-0.12x
问题2
探究新知
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60.
它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次.
3．自变量x的系数都不为0.
探究新知
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
定义：
探究新知
思考： 一次函数的结构特征有哪些？
（1）k≠0 .
（2）x 的次数是1.
（3）常数项b可以为一切实数.
一次函数
正比例函数
答：一次函数的结构特征：
探究新知
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
（7）不是一次函数，也不是正比例函数
练一练
（7）y=kx+b
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
例题讲解
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
例题讲解
例2：已知函数y=（k+1）x+（k2-1）
①当k取什么值时，y是x的一次函数？
②当k取什么值时，y是x的正比例函数？
解：
①由已知得 k+1≠0
∴k≠-1
故当k≠-1时，y是x的一次函数.
②由已知得
故当k=1时，y是x的正比例函数.
k+1≠0 ①
k2-1=0　②
由 ①得k≠-1
由 ②得k=±1
∴k=1
例题讲解
例3：已知函数y＝(m－5)xm －24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
解：(1) ∵y＝(m－5)xm －24＋m＋1是一次函数，
∴ m2－24＝1且m－5≠0，
∴ m＝±5且m≠5，
∴ m＝－5.
∴当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm －24
＋m＋1是一次函数．
例题讲解
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解：(2)∵ y＝(m－5)xm －24＋m＋1是一次函数，
∴ m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
∴ m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
∴函数y＝(m－5)xm －24＋m＋1不可能为
正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
例题讲解
例4：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3 500) (3500例题讲解
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
例题讲解
1. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②③ B. ①③④
C. ①④ D. ②③④
C
课堂练习
2.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
n=2
m≠2
课堂练习
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
所以y＝3x－9，
y是x的一次函数．
y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
解 ：(1)设y＝k(x－3)，
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，
解得 k＝3，
(2)当x＝2.5时，
所以y＝3(x－3)，
课堂练习
5.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6 m3时，水费按0.6元/m3收费，每户每月用水量超过6 m3时，超过的部分按1元/ m3 收费.设每户每月用水量为x m3，应交水费y元．
（ 1 ）写出每月用水量不超过6 m3和超过6 m3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数；
（ 2 ）已知某户5月份的用水量为8 m3 ，求该用户5月份的水费．
（2）当x=8时，y=8-2.4=5.6（元）.
解：（1）不超过6 m3 时：y=0.6x；
超过6 m3 时：y=0.6×6+1(x-6)=x-2.4；y是x的一次函数；
课堂练习
课堂小结
一次函数与正比例函数的概念和关系：
一般形式
一次函数
正比例函数
注:正比例函数是一种特殊的一次函数. （即当常数b=0时）
所以 正比例函数 一定是 一次函数;
一次函数 不一定是 正比例函数
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