2021-2022学年上海市浦东新区实验性示范性高中高一（上）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年上海市浦东新区实验性示范性高中高一（上）期中数学试卷
一.填空题（共12小题）.
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝　 　．
2．若2x＝3，则实数x的值为 　 　．
3．当x＜0时，式子|x|++的值为 　 　．
4．已知﹣1＜a＜1，1＜b＜3，则a﹣b的取值范围是 　 　．
5．不等式＞1的解集为　 　．
6．设a是实数，若x＝1是x＞a的一个充分条件，则a的取值范围是 　 　．
7．不等式|2x﹣1|＜x+2的解集为 　 　．
8．若关于x的一元二次不等式x2﹣ax+1≤0的解集为 ，则实数a的取值范围是 　 　．
9．若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
10．已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是　 　．
11．若不等式组的解集为M，且M∩Z中有2021个元素，则k的取值范围是 　 　．
12．若实数x、y满足4x+4y＝2x+1+2y+1，则S＝2x+2y的取值范围是　 　．
二.选择题
13．已知a＞b，c＞d，下列不等式中不一定成立的是（　　）
A．a﹣d＞b﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d
14．如果实数a、b同号，则下列命题中正确的是（　　）
A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2 C．+＞ D．≥2
15．已知集合A、B非空，且A B，则下列式子中一定是空集的为（　　）
A．∩B B．A∩ C．∩ D．∪
16．定义A﹣B＝{x|x∈A且x B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A﹣B）∪（B﹣A） C，则A （C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝ 的（　　）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
三、解答题.
17．已知全集为R，集合A＝{x|0＜2x+a≤3}，B＝{x|﹣＜x＜2}，若A∩B＝A，且A≠ ，求实数a的取值范围．
18．已知一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0的两实根为x1、x2，且x12+x22＝1，求实数m的值．
19．某新建居民小区预建一面积为700m2的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m（如图所示）．问：如何设计绿地的长度和宽度，才能使人行道的占地面积最小？并求出此时人行道的占地面积．（结果精确到0.1m）
20．（1）已知x＞0，x≠1，试比较x3+与x2+的大小，并说明理由；
（2）设a＞b＞c，a+b+c＝1，且a2+b2+c2＝1，证明：c＜0．
21．已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S、T；
（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，且T＝A，写出一个满足条件的集合A，并说明理由；
（3）若集合A {x|0≤x≤2020，x∈N}，S∩T＝ ，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．
参考答案
一.填空题
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝　{3，4}　．
【分析】利用交集定义直接求解．
解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}．
2．若2x＝3，则实数x的值为 　log23　．
【分析】根据指数式与对数式之间转化的方法可解决此题．
解：∵2x＝3，∴x＝log23．
故答案为：log23．
3．当x＜0时，式子|x|++的值为 　0　．
【分析】由x＜0得|x|＝﹣x，＝|x|＝﹣x，＝x，代入即可．
解：∵x＜0，
∴|x|＝﹣x，＝|x|＝﹣x，＝x，
∴|x|++＝﹣x﹣x+2x＝0，
故答案为：0．
4．已知﹣1＜a＜1，1＜b＜3，则a﹣b的取值范围是 　（﹣4，0）　．
【分析】根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．
解：∵1＜b＜3，
∴﹣3＜﹣b＜﹣1，
又∵﹣1＜a＜1，
∴﹣4＜a﹣b＜0，
故a﹣b的取值范围为（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
5．不等式＞1的解集为　{x|0＜x＜1}　．
【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．
解：∵＞1，
∴﹣1＝＞0，
∴＞0，
∴0＜x＜1．
∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．
故答案为：{x|0＜x＜1}．
6．设a是实数，若x＝1是x＞a的一个充分条件，则a的取值范围是 　（﹣∞，1）　．
【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为{1} {x|x＞a}，由子集的定义求解即可．
解：因为x＝1是x＞a的一个充分条件，
则{1} {x|x＞a}，
所以a＜1，
则a的取值范围是（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
7．不等式|2x﹣1|＜x+2的解集为 　（﹣，3）　．
【分析】直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＜a等价于﹣a＜x＜a，最后求并集即可．
解：不等式|2x﹣1|＜x+2，
可化为﹣x﹣2＜2x﹣1＜x+2，
∴﹣＜x＜3，
故答案为：（﹣，3）．
8．若关于x的一元二次不等式x2﹣ax+1≤0的解集为 ，则实数a的取值范围是 　（﹣2，2）　．
【分析】根据判别式列出不等式求得a的取值范围．
解：关于x的一元二次不等式x2﹣ax+1≤0的解集为 ，
则△＝a ﹣4＜0，
解得﹣2＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
9．若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1]　．
【分析】根据绝对值的意义|x﹣2|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a﹣2|，可得答案．
解：|x﹣2|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a﹣2|，
由不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立知，a≤|a﹣2|，
解得：a≤1
故答案为：（﹣∞，1]．
10．已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是　2　．
【分析】令a+2019＝x，b+2020＝y，则x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．
解：令a+2019＝x，b+2020＝y，则x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，
∴，
∴，
＝，
当且仅当且x+y＝4042，即x＝y＝2021，a＝2，b＝1时成立．
故答案为：2．
11．若不等式组的解集为M，且M∩Z中有2021个元素，则k的取值范围是 　[﹣2023，﹣2022）∪（2023，2024]　．
【分析】直接利用一元二次不等式组的解法和集合的交集的运算关系求出k的取值范围．
解：，整理得：，
当k＞0时，，由于M∩Z中有2021个元素，
所以当k∈（2023，2024]时，满足条件；
当k＜0时，，由于M∩Z中有2021个元素，
所以当k∈[﹣2023，﹣2022）时，满足条件；
综上所述：k的取值范围为[﹣2023，﹣2022）∪（2023，2024]．
故答案为：[﹣2023，﹣2022）∪（2023，2024]．
12．若实数x、y满足4x+4y＝2x+1+2y+1，则S＝2x+2y的取值范围是　（2，4]　．
【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．
解：∵4x+4y＝（2x+2y）2﹣2 2x2y＝s2﹣2 2x2y，2x+1+2y+1＝2（2x+2y）＝2s，
故原式变形为s2﹣2 2x2y＝2s，即2 2x2y＝s2﹣2s，
∵0＜2 2x2y≤2 （）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号；
解得2＜s≤4，
故答案为（2，4]．
二.选择题
13．已知a＞b，c＞d，下列不等式中不一定成立的是（　　）
A．a﹣d＞b﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
解：对于A，∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d，
∴a﹣d＞b﹣c，故A恒成立，
对于B，令a＝1，b＝0，c＝1，d＝0，满足a＞b，c＞d，但a+d＝b+c，故B不一定成立，
对于C，∵a＞b，﹣c＝﹣c，
∴a﹣c＞b﹣c，故C恒成立，
对于D，∵c＞d，
∴﹣c＜﹣d，
∴a﹣c＜a﹣d，故D恒成立．
故选：B．
14．如果实数a、b同号，则下列命题中正确的是（　　）
A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2 C．+＞ D．≥2
【分析】用特殊值法可排除选项A，B，C，例如A：取a＝b，B和C：取a＜0，b＜0；利用基本不等式可证明选项D．
解：选项A，当a＝b时，a2+b2＝2ab，故A错误；
选项B，当a＜0，b＜0时，a+b＜0，而＞0，故B错误；
选项C，当a＜0，b＜0时，+＜0，而＞0，故C错误；
选项D，因为实数a、b同号，所以＞0，＞0，所以+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，
故D正确．
故选：D．
15．已知集合A、B非空，且A B，则下列式子中一定是空集的为（　　）
A．∩B B．A∩ C．∩ D．∪
【分析】由题意画出韦恩图判断即可．
解：由韦恩图知B对．
故选：B．
16．定义A﹣B＝{x|x∈A且x B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A﹣B）∪（B﹣A） C，则A （C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝ 的（　　）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】作出示意图，由于（A﹣B）∪（B﹣A） C，可知两个阴影部分均为 ，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可．
解：如图由于（A﹣B）∪（B﹣A） C，可知两个阴影部分均为 ，
于是A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B＝Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，
（1）若A∩B∩C＝ ，则Ⅴ＝ ，
所以A＝Ⅰ∪Ⅳ，
而（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，
所以A （C﹣B）∪（B﹣C）成立，
（2）反之，若A （C﹣B）∪（B﹣C），
则由于（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，
所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ） （Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），
所以Ⅴ＝ ，
所以A∩B∩C＝ ，
故A （C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝ 的充要条件，
故选：A．
三、解答题.
17．已知全集为R，集合A＝{x|0＜2x+a≤3}，B＝{x|﹣＜x＜2}，若A∩B＝A，且A≠ ，求实数a的取值范围．
【分析】求出集合A，由A∩B＝A，且A≠ ，得A B，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．
解：∵全集为R，集合A＝{x|0＜2x+a≤3}＝{x|＜x≤}，
B＝{x|﹣＜x＜2}，A∩B＝A，且A≠ ，
∴A B，
∴，
解得﹣1＜a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣1，1]．
18．已知一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0的两实根为x1、x2，且x12+x22＝1，求实数m的值．
【分析】由题意可得x1+x2＝m，x1x2＝m+1，进行变形后代入即可求解．
解：由题意可得x1+x2＝m，x1x2＝m+1，
则x12+x22＝（x1+x2） ﹣2x1x2＝m ﹣2（m+1）＝1，
解得m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，△＝m ﹣4（m+1）＝1＞0，符合，
当m＝3时，△＝m ﹣4（m+1）＝﹣7＜0，舍去，
综上：m＝﹣1．
19．某新建居民小区预建一面积为700m2的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m（如图所示）．问：如何设计绿地的长度和宽度，才能使人行道的占地面积最小？并求出此时人行道的占地面积．（结果精确到0.1m）
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
解：设矩形绿地的长度为x，宽为，人行道的占地面积S，
则S＝＝ ＝≈414.4，
当且仅当，即时，等号成立，
故绿地的长为≈30.5米，宽为23米时，人行道的占地面积最小为414.4平方米．
20．（1）已知x＞0，x≠1，试比较x3+与x2+的大小，并说明理由；
（2）设a＞b＞c，a+b+c＝1，且a2+b2+c2＝1，证明：c＜0．
【分析】（1）利用作差法，分类讨论比较大小即可；
（2）将原问题进行等价转化，构造二次方程即可证得题中的结论．
【解答】（1）解：，
当0＜x＜1时，x﹣1＜0，，所以，即，
当x＞1时，x﹣1＞0，，所以，即，
综上：．
（2）证明：由a+b＝1﹣c得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（1﹣c）2﹣2ab＝1﹣c2．
∴ab＝c2﹣c．
因此构造以a、b为根的一元二次方程x2﹣（1﹣c）x+c2﹣c＝0．
令f（x）＝x2﹣（1﹣c）x+c2﹣c．
由a、b∈R及a＞b＞c，得，
解得，所以c＜0．
21．已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（1）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S、T；
（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，且T＝A，写出一个满足条件的集合A，并说明理由；
（3）若集合A {x|0≤x≤2020，x∈N}，S∩T＝ ，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．
【分析】（1）由集合的新定义，直接写出集合S，T即可，
（2）由集合T的定义，写出即可，
（3）由题意设出集合A，并由容斥原理，得出k的范围，经证明得出m的范围，再求最大值即可．
解：（1）根据题意，由集合A＝{1，3}，计算集合 S＝{2，4，6}，T＝{0，2}，
（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，
所以T中也只包含四个元素，
例A＝{0，1，2，3}，
又T＝A＝{0，1，2，3}，
故满足题意．
（3）设A＝{a1，a2，…ak} 满足题意，其中a1＜a2＜ ＜ak，
则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜ ＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜ ＜ak 1+ak＜2ak，
∴|S| 2k 1，a1 a1＜a2 a1＜a3 a1＜ ＜ak a1，
∴|T| k，
∵S∩T＝ ，
由容斥原理|S∪T|＝|S|+|T| 3k 1，
S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2a，
∴|S∪T| 2ak+1，
∴，
∴k 1347，
实际上当A＝{674，675，676， ，2020}时满足题意，
证明如下：
依题意有2020 m＜2m，即，
故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，
即A＝{674，675，676， ，2020}时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．