2021-2022学年上海市普陀区桃浦高级学校高一（上）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年上海市普陀区桃浦高级学校高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝　 　．
2．用列举法表示方程组的解集 　 　．
3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A B，则实数a的值为 　 　．
4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝　 　．
5．已知x＞0，则的最小值为　 　．
6．已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B A，则m的值为　 　．
7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设 　 　．
8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为 　 　．
9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是 　 　．
10．已知a2x＝2（a＞0），则＝　 　．
11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝　 　．
12．定义两个实数间的新运算“Δ”：xΔy＝ln（ex+ey）（x，y∈R），对于任意的实数a，b，c，给出下列结论：（1）aΔb＝bΔa：（2）（aΔb）Δc＝aΔ（bΔc）；（3）（aΔb）+c＝（a+c）Δ（b+c）；（4）（a+b）Δc＝aΔc+bΔc，正确结论的序号是 　 　．
二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
14．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜
15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2
16．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣aix）2＜1（i＝1，2，3）都成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12＝48分）
17．已知A＝{2，3，a2+1}，B＝{a2+a﹣4，2a+1，﹣}，且A∩B＝{2}，求a的值．
18．（1）已知＝1，求的值．
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．
19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
20．用合适的方法证明：
（1）已知a，b都是正数，求证：a2021+b2021≥a2019b2+a2b2019；
（2）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
21．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若不等式f （x）＞0的解集为R，求m的取值范围；
（2）当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；
（3）若不等式f（x）≥x2+x﹣1的解集为D，且（0，1] D，求m的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝　{x|x＞﹣1}　．
【分析】直接利用集合并集的定义求解即可．
解：因为集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
则A∪B＝{x|x＞﹣1}．
故答案为：{x|x＞﹣1}．
2．用列举法表示方程组的解集 　{（3，1）}　．
【分析】解出方程组的解集，再用列举法表示即可．
解：解方程组，得，
∴用列举法表示方程组的解集为{（3，1）}，
故答案为：{（3，1）}．
3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A B，则实数a的值为 　0或1　．
【分析】根据A B，从而得出a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．
解：∵A B，
∴a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．
故答案为：0或1．
4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝　11　．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，进而求得结论．
解：∵方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，
可得：x1+x2＝﹣＝﹣2，x1 x2＝＝﹣，
故 x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4﹣2×（﹣）＝11，
故答案为：11．
5．已知x＞0，则的最小值为　4　．
【分析】因为x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．
解：∵x＞0，则≥2＝4，当且仅当x＝ 时，等号成立，
故答案为 4．
6．已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B A，则m的值为　0或1或﹣1　．
【分析】根据集合B中的方程，可得B中至多一个元素，再由集合A中的元素可得B＝ 或B＝{﹣1}或B＝{1}．因此分三种情况讨论，分别解方程，即可得到实数m的值．
解：∵B A，而A＝{﹣1，1}
∴B＝ 或B＝{﹣1}或B＝{1}
①当m＝0时，B＝{x|mx＝1}＝ ，符合题意；
②当B＝{﹣1}时，B＝{x|mx＝1}＝{﹣1}，可得m＝﹣1
③当B＝{1}时，B＝{x|mx＝1}＝{1}，可得m＝1
综上所述，m的值为0或1或﹣1
故答案为：0或1或﹣1
7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设 　a，b至少有一个不为0　．
【分析】根据已知条件，先求出原命题的否命题，即可求解．
解：∵命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的否定为“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b至少有一个不为0”，
∴用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设a，b至少有一个不为0．
故答案为：a，b至少有一个不为0．
8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为 　0或1　．
【分析】由题意可知方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，对a是否为0分情况讨论，分别求出a的值即可．
解：∵集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，
∴方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，
①当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，
解得x＝，
此时集合A＝{}，符合题意，
②当a≠0时，
∴△＝（﹣2）2﹣4a＝0，
∴a＝1，
此时集合A＝{1}，符合题意，
综上所述，a的值为0或1，
故答案为：0或1．
9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是 　（﹣∞，3]　．
【分析】由绝对值三角不等式可得|x+2|+|x﹣3|≥k的最小值，即可求得k的取值范围．
解：|x﹣6|+|x﹣3＝|x﹣6|+|3﹣x|≥|（x﹣6）+（3﹣x）|＝3，
∵关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，
∴k≤3．
故答案为：（﹣∞，3]．
10．已知a2x＝2（a＞0），则＝　　．
【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．
解：＝＝a2x+a﹣2x+1＝2++1＝．
故答案为：．
11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝　{x|b}　．
【分析】推导出0＜b＜＜＜a，求出＝{x|x或x≥a}，由此能求出∩N．
解：全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，
∴0＜b＜＜＜a，
集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，
＝{x|x或x≥a}，
∴∩N＝{x|b}．
故答案为：{x|b}．
12．定义两个实数间的新运算“Δ”：xΔy＝ln（ex+ey）（x，y∈R），对于任意的实数a，b，c，给出下列结论：（1）aΔb＝bΔa：（2）（aΔb）Δc＝aΔ（bΔc）；（3）（aΔb）+c＝（a+c）Δ（b+c）；（4）（a+b）Δc＝aΔc+bΔc，正确结论的序号是 　（1）（2）（3）　．
【分析】根据xΔy＝ln（ex+ey）（x，y∈R）的定义，分别进行验证，即可得到结论．
解：（1）∵xΔy＝ln（ex+ey）（x，y∈R），
∴aΔb＝ln（ea+eb），bΔa＝ln（eb+ea），
∴aΔb＝bΔa，故（1）正确；
（2）∵（aΔb）Δc＝ln（eaΔb+ec）＝ln（+ec）＝ln（ea+eb+ec），
aΔ（bΔc）＝ln（ea+ebΔc）＝ln（ea+）＝ln（ea+eb+ec），
∴（aΔb）Δc＝aΔ（bΔc），故（2）正确；
（3）∵（aΔb）+c＝ln（ea+eb）+c，
（a+c）Δ（b+c）
＝ln（ea+c+eb+c）
＝ln[ec（ea+eb）]
＝lnec+ln（ea+eb）
＝c+ln（ea+eb），
∴（aΔb）+c＝（a+c）Δ（b+c），故（3）正确；
（4）∵（a+b）Δc＝ln（ea+b+ec），
aΔc+bΔc＝ln（ea+ec）+ln（eb+ec）＝ln（ea+b+ea+c+eb+c+e2c），
∴（a+b）Δc≠aΔc+bΔc，故（4）错误．
故正确结论的序号是（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．
二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【分析】根据充要条件的定义，即可判断得出答案．
解：当“x＝1”时，“x2＝1”成立，
当“x2＝1”时，“x＝±1”故“x＝1”不一定成立，
即“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件，
故选：A．
14．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
解：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A为假命题，
对于B，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但a﹣c＝b﹣d，故B为假命题，
对于C，∵a＞|b|，
∴由不等式的性质可得，a2＞b2，故C为真命题．
对于D，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故D为假命题．
故选：C．
15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2
【分析】先表示出a＝，结合对数的运算性质，从而得到答案．
解：∵3a＝2，∴a＝，
∴﹣2＝3﹣2（+1）＝3a﹣2（a+1）＝a﹣2，
故选：A．
16．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣aix）2＜1（i＝1，2，3）都成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先解出不等式（1﹣aix）2＜1的解集，再由a1＞a2＞a3＞0确定x的范围．
解：，
所以解集为，又，
故选：B．
三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12＝48分）
17．已知A＝{2，3，a2+1}，B＝{a2+a﹣4，2a+1，﹣}，且A∩B＝{2}，求a的值．
【分析】由A∩B＝{2}，得a2+a﹣4＝2，或2a+1＝2，从而得到a＝2或a＝﹣3或a＝，分别代入集合A，B检验，能求出a的值．
解：∵A＝{2，3，a2+1}，B＝{a2+a﹣4，2a+1，﹣}，且A∩B＝{2}，
∴a2+a﹣4＝2，或2a+1＝2，
解得a＝2或a＝﹣3或a＝，
当a＝2时，A＝{2，3，5}，B＝{2，5，﹣}，A∩B＝{2，5}，不成立；
当a＝﹣3时，A＝{2，3，10}，B＝{2，﹣5，﹣}，成立；
当a＝时，A＝{2，3，}，B＝{﹣，2，﹣}，不成立．
综上，a的值为﹣3．
18．（1）已知＝1，求的值．
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据根与系数的关系求出lga+lgb＝2，根据指数幂的运算性质求出ab的值即可．
解：（1）∵＝1，
∴＝＝＝＝3；
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，
则lga+lgb＝2，则lg（ab）＝2，故ab＝100．
19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【分析】（1）根据已知条件，结合利润＝总价值﹣总成本，列式即可得到函数关系，令S≥0，求解不等式即可；
（2）利用基本不等式求解即可得到答案．
解：（1）由题意可得，S＝300x﹣（x2﹣200x+40000）＝﹣x2+500x﹣40000（0＜x≤300），
令S≥0，即﹣x2+500x﹣40000≥0，解得100≤x≤400，
又0＜x≤300，
所以100≤x≤300，
故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在[100，300]范围内；
（2）每吨的平均出来成本为，
当且仅当，即x＝200时取等号，
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
20．用合适的方法证明：
（1）已知a，b都是正数，求证：a2021+b2021≥a2019b2+a2b2019；
（2）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
【分析】（1）利用综合法，作差，分解因式，结合a，b均是正数，即可求证；
（2）用反证法，假设a是奇数，求出a2，推出矛盾，即可证明．
【解答】证明：（1）选用综合法证明如下：
因为（a2021+b2021）﹣（a2019b2+a2b2019）＝a2（a2019﹣b2019）+b2（b2019﹣a2019）
＝（a2019﹣b2019）（a2﹣b2）
若a＞b＞0，则a2019﹣b2019＞0，a2﹣b2＞0，
此时a2021+b2021≥a2019b2+a2b2019，
若b＞a＞0，则a2019﹣b2019＜0，a2﹣b2＜0，
此时a2021+b2021≥a2019b2+a2b2019，
故题中的不等式成立．
（2）选用反证法证明如下：
假设a不是偶数，即a是奇数，
不妨设a＝2n+1（n∈Z），则a2＝4n2+4n+1．
因为4（n2+n）是偶数，所以4n2+4n+1是奇数，
这与已知a2是偶数矛盾，
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
21．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若不等式f （x）＞0的解集为R，求m的取值范围；
（2）当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；
（3）若不等式f（x）≥x2+x﹣1的解集为D，且（0，1] D，求m的取值范围．
【分析】（1）不等式f（x）＞0的解集是空集，分m＝﹣1和m+1≠0两种情况求解；
（2）分m＝﹣1，m＞﹣1和﹣2＜m＜﹣1三种情况解不等式；
（3）由条件知对任意的x∈（0，1]，不等式mx2﹣（m+1）x+m≥0恒成立，m≥＝恒成立，解出最大值即可．
解：（1）①当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，不合题意；
②当m+1≠0，即m≠﹣1时，，
解得m≥，
∴m的取值范围是[，+∞）；
（2）∵f（x）≥m，
∴（m+1）x2﹣mx﹣1≥0，即[（m+1）x+1]（x﹣1）≥0，
①当m+1＝0即m＝﹣1时，不等式的解集为[1，+∞）；
②当m+1＞0即m＞﹣1时，（x+）（x﹣1）≥0，
∵﹣＜0，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）；
③当m+1＜0即﹣2＜m＜﹣1时，（x+）（x﹣1）≤0，
∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣1＜m+1＜0，则﹣＞0，
∴不等式的解集为[1，﹣]；
（3）不等式f（x）≥x2+x﹣1的解集为D，且（0，1] D，
即对任意的x∈（0，1]，不等式mx2﹣（m+1）x+m≥0恒成立，
即m（x2﹣x+1）≥x恒成立，
∵x2﹣x+1＞0恒成立，∴m≥＝恒成立，
∵x∈（0，1]，
∴x+∈[2，+∞），
则x+﹣1∈[1，+∞），
所以∈（0，1]，当仅当x＝1时取等号，
故m≥1，
即m∈[1，+∞）．