2020-2021学年上海市复旦（青浦分校）附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（Word解析版）

2020-2021学年上海市复旦（青浦分校）附中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、填空题
1．若集合A＝{y|y＝x2﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2﹣2x}，则A∩B＝　 　．
2．设集合，则集合A的子集的个数是 　 　．
3．若a，b∈R，则“（a﹣b）a2＞0”是“a＞b”的 　 　条件．
4．设a，b，c∈R，已知不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），则不等式cx2﹣bx﹣a＞0的解集为 　 　．
5．不等式（2x+1）（x+3）（5﹣x）＞0的解集为 　 　．
6．不等式的解集为 　 　．
7．不等式的解集为 　 　．
8．不等式的解集为 　 　．
9．若不等式x2+mx＞x+m对任意m∈（﹣3，1）恒成立，则实数x的取值范围是 　 　．
10．已知集合，若3∈M，5 M，则实数a的取值范围是　 　．
11．已知﹣1＜a＜b＜2，则2b﹣a2的范围是 　 　．
12．设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）．若不等式f（x）≥2ax+b的解集为R，则的最大值为　 　．
二.选择题
13．设不等式的解集为M，不等式组的解集为N，则M、N之间的关系为（　　）
A．M＝N B．M N
C．M N D．M、N互不包含
14．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x+b1＞0}，B＝{x|a2x+b2＞0}，则“”是“A＝B”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p，使得p+2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是（　　）
A．只有有限多个素数p，使得p+2是合数
B．.存在无穷多个素数p，使得p+2是合数
C．对任意正数n，存在素数p＞n，使得p+2是合数
D．存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数
16．设a∈R，若不等式|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，12] B．[﹣2，10] C．[﹣4，4] D．[﹣4，12]
三、解答题
17．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩（ UB）＝A，求实数a的取值范围．
18．设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1，m∈R．
（1）若方程f（x）＝0有实根，求实数m的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为 ，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
19．某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投入（x﹣16）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣5）（x﹣4）＞0，（k∈R）设Z为整数集．
（1）求不等式的解集A；
（2）对于上述集合A，设B＝A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．
21．已知U R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．
（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；
（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；
（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np的最小值．
参考答案
一、填空题
1．若集合A＝{y|y＝x2﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2﹣2x}，则A∩B＝　[﹣1，1]　．
【分析】求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．
解：集合A＝{y|y＝x2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，
B＝{y|y＝﹣x2﹣2x}＝{y|y＝﹣（x+1）2+1}＝{y|y≤1}，
则A∩B＝[﹣1，1]，
故答案为：[﹣1，1]．
2．设集合，则集合A的子集的个数是 　8　．
【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．而集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．可得正确答案．
解：由于∈N，则5﹣x必为6的正约数，
∴5﹣x＝1，2，3，6，
∴x＝4，3，2，﹣1；
又x∈N，
∴x＝4，3，2．
故集合集合A＝{2，3，4}，所以集合A子集个数为8个．
故答案为：8．
3．若a，b∈R，则“（a﹣b）a2＞0”是“a＞b”的 　充分不必要　条件．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
解：∵（a﹣b）a2＞0，
又∵a2＞0，
∴a﹣b＞0，即a＞b，故（a﹣b）a2＞0能推出a＞b，
令a＝0，b＝﹣1，满足a＞b，但（a﹣b）a2＝0，故a＞b不能推出（a﹣b）a2＞0，
综上所述，“（a﹣b）a2＞0”是“a＞b”的 充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
4．设a，b，c∈R，已知不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），则不等式cx2﹣bx﹣a＞0的解集为 　（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）　．
【分析】根据题意结合韦达定理可知a＞0，且b＝﹣5a，c＝6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．
解：∵不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），
∴a＞0，且，
∴b＝﹣5a，c＝6a，
∴不等式cx2﹣bx﹣a＞0可化为6ax2+5ax﹣a＞0，
又∵a＞0，∴6x2+5x﹣1＞0，
解得x＜﹣1或x＞，
即不等式cx2﹣bx﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
5．不等式（2x+1）（x+3）（5﹣x）＞0的解集为 　　．
【分析】直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．
解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，
不等式（2x+1）（x+3）（5﹣x）＞0的解集为．
故答案为：．
6．不等式的解集为 　{x|x＝﹣7或x＞2}　．
【分析】先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．
解：不等式等价于，解得x＝﹣7或x＞2，
所以不等式的解集为{x|x＝﹣7或x＞2}．
故答案为：{x|x＝﹣7或x＞2}．
7．不等式的解集为 　（﹣∞，2）∪（2，+∞）　．
【分析】由题意可知∈R，再由分母不为0得答案．
解：由，得，
∴∈R，即x≠2．
∴不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，2）∪（2，+∞）．
8．不等式的解集为 　（﹣∞，﹣1]　．
【分析】将不等式进行等价转化，得到，求解即可．
解：不等式等价于，
解得x≤﹣1，
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
9．若不等式x2+mx＞x+m对任意m∈（﹣3，1）恒成立，则实数x的取值范围是 　（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）　．
【分析】把已知不等式变形，可得（x﹣1）m+x2﹣x＞0对任意m∈（﹣3，1）恒成立，令g（m）＝（x﹣1）m+x2﹣x，得，得到关于x的不等式组求解．
解：由不等式x2+mx＞x+m对任意m∈（﹣3，1）恒成立，
得（x﹣1）m+x2﹣x＞0对任意m∈（﹣3，1）恒成立，
令g（m）＝（x﹣1）m+x2﹣x，得，
即，解得x≤﹣1或x≥3．
∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
10．已知集合，若3∈M，5 M，则实数a的取值范围是　[1，）∪（9，25]　．
【分析】根据分式不等式的解法，对实数a进行分类讨论，然后结合条件3∈M，5 M进行求解．
解：∵集合，
得 （ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a＝0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得 ；
若 ，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
11．已知﹣1＜a＜b＜2，则2b﹣a2的范围是 　（﹣3，4）　．
【分析】画出﹣1＜a＜b＜2不表示的可行域，然后利用2b﹣a2的几何意义求解范围即可．
解：在平面直角坐标系中画出﹣1＜a＜b＜2的可行域，如图，
令z＝2b﹣a2，可得b＝，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b轴，二次函数经过A，B时，取得最值，
A（0，2），B（﹣1，﹣1），
所以2b﹣a2的最大值为：4，最小值为：﹣3，因为A、B不在可行域内，所以2b﹣a2的范围是：（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
12．设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）．若不等式f（x）≥2ax+b的解集为R，则的最大值为　2﹣2　．
【分析】根据不等式恒大于等于0，求出c≥a，令c＝ka（k＞1），再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．
解：ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0（a＞0），
△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）≤0，
即b2+4a2﹣4ac≤0，b2≤4ac﹣4a2，
∴4ac﹣4a2≤b2，
∴c≥a，
求最大值、不妨令c＝ka（k＞1）
∴
令k﹣1＝t，
即，
故答案为：2﹣2．
二.选择题
13．设不等式的解集为M，不等式组的解集为N，则M、N之间的关系为（　　）
A．M＝N B．M N
C．M N D．M、N互不包含
【分析】将不等式组等价转化为，结合子集的定义，判断即可．
解：不等式组等价于，
因为不等式的解集为M，不等式组的解集为N，
所以M N．
故选：B．
14．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x+b1＞0}，B＝{x|a2x+b2＞0}，则“”是“A＝B”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可．
解：∵
∴取a1＝1，a2＝﹣1，b1＝﹣1，b2＝1，A≠B
而A＝B
∴“”是“A＝B”的必要不充分条件
故选：B．
15．著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p，使得p+2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是（　　）
A．只有有限多个素数p，使得p+2是合数
B．.存在无穷多个素数p，使得p+2是合数
C．对任意正数n，存在素数p＞n，使得p+2是合数
D．存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数
【分析】根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．
解：∵存在无穷多个素数p，使得p+2是素数的否定为存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数，
∴应假设存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数．
故选：D．
16．设a∈R，若不等式|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，12] B．[﹣2，10] C．[﹣4，4] D．[﹣4，12]
【分析】由题意可得|x2+|+|x2﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，讨论x＞0，x＜0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．
解：|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，
即为|x2+|+|x2﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，
当x＞0时，可得4﹣a≤|x+|+|x﹣|+的最小值，
由|x+|+|x﹣|+≥|x++x﹣|+＝2x+≥2＝8，
当且仅当x＝2取得最小值8，即有4﹣a≤8，则a≥﹣4；
当x＜0时，可得4﹣a≥﹣[|x+|+|x﹣|﹣]的最大值，
由|﹣x+|+|﹣x﹣|﹣≥﹣2x﹣≥2＝8，
当且仅当x＝﹣2取得最大值﹣8，即有4﹣a≥﹣8，则a≤12，
综上可得﹣4≤a≤12．
故选：D．
三、解答题
17．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩（ UB）＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题目中条件：“A∩B＝{2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；
（2）由题目中条件：“A∪B＝A，”，知B A，由此可得实数a的取值范围；
（3）由题目中条件：“A∩（ UB）＝A，”，知A∩B＝ ，由此可得实数a的取值范围．
解：（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中方程
得a2+4a+3＝0，所以a＝﹣1或a＝﹣3
当a＝﹣1时，B＝{﹣2，2}，满足条件；
当a＝﹣3时，B＝{2}，也满足条件
综上得a的值为﹣1或﹣3；
（2）∵A∪B＝A，∴B A
①当△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8（a+3）＜0，即a＜﹣3时，B＝ 满足条件
②当△＝0即a＝﹣3时，B＝{2}，满足要求
③当△＞0，即a＞﹣3时，B＝A＝{1，2}才能满足要求，不可能
故a的取值范围是a≤﹣3．
（3）∵A∩（ UB）＝A，
∴A （ UB），
∴A∩B＝
①当△＜0，即a＜﹣3时，B＝ ，满足条件
②当△＝0即a＝﹣3时，B＝{2}，A∩B＝{2}不适合条件
③当△＞0，即a＞﹣3时，此时只需1 B且2 B
将2代入B的方程得a＝﹣1或a＝﹣3
将1代入B的方程得∴
综上，a的取值范围是或或
18．设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1，m∈R．
（1）若方程f（x）＝0有实根，求实数m的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为 ，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；
（2）考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；
（3）考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．
解：（1）若方程f（x）＝0有实根，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，f（x）＝0有解；
当m+1≠0，即m≠﹣1时，Δ＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）≥0，
解得﹣≤m≤，且m≠﹣1．
综上可得，m的取值范围是[﹣，]；
（2）若m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，
f（x）＞0的解为x＞2，不符题意；
若不等式f（x）＞0的解集为 ，
只需m+1＜0，且Δ＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，解得m≤﹣，
即m的取值范围是（﹣∞，﹣]；
（3）若m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，
f（x）＞0的解为x＞2，不符题意；
若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，
只需m+1＞0，且Δ＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，解得m＞．
即m的取值范围是（，+∞）．
19．某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投入（x﹣16）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
【分析】（1）设每瓶定价为t元，依题意列出[8﹣（t﹣15）×0.2]（t﹣10）≥5×8，求解即可．
（2）设每瓶定价为x（x≥16）元，月总利润为f（x），得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．
解：（1）设每瓶定价为t元，依题意，
有[8﹣（t﹣15）×0.2]（t﹣10）≥5×8，
整理得t2﹣65t+750≤0，解得15≤t≤50．
因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．
（2）设每瓶定价为x（x≥16）元，月总利润为f（x），则
＝
＝
＝﹣
≤＝46.3当且仅当，
当且仅当，即（x﹣15）2＝9，
∴x﹣15＝3或x﹣15＝﹣3（舍去），
所以x＝18，
因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．
20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣5）（x﹣4）＞0，（k∈R）设Z为整数集．
（1）求不等式的解集A；
（2）对于上述集合A，设B＝A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．
【分析】（1）对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，
（2）由（1）的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．
解：（1）当k＝0时，A＝（﹣∞，4]，
当k＞0，A＝（﹣∞，4）∪（k+，+∞），
当k＜0时，A＝（k+，4），
（2）由（1）知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，
当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集
k＜0时，k+≤﹣2，
当且仅当k＝﹣时取等号，
又k∈Z，
得k∈[﹣4，4），
B＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
21．已知U R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．
（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；
（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；
（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np的最小值．
【分析】（1）分别求出s＝t＝1、s＝1，t＝3、s＝3，t＝1、s＝1，t＝5、s＝5，t＝1、s＝3，t＝5、s＝5，t＝3、s＝t＝3、s＝t＝5时，s2+3t2的值，由此能求出集合A．
（2）由U＝Z，x∈A，求出x＝s2+3t2，从而推导出7x＝7（s2+3t2）＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2，由此能证明7x∈A．
（3）求出xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，推导出，设，得11b2+2bt+12﹣t2＝0，利用判别式法，能求出x+y+mq+np的最小值．
解：（1）解：∵U R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．
U＝{1，3，5}，
∴当s＝t＝1时，s2+3t2＝1+3＝4，
当s＝1，t＝3时，s2+3t2＝1+27＝28，
当s＝3，t＝1时，s2+3t2＝9+3＝12，
当s＝1，t＝5时，s2+3t2＝1+75＝76，
当s＝5，t＝1时，s2+3t2＝25+3＝28，
当s＝3，t＝5时，s2+3t2＝9+75＝84，
当s＝5，t＝3时，s2+3t2＝25+27＝52，
当s＝t＝3时，s2+3t2＝9+27＝36，
当s＝t＝5时，s2+3t2＝25+75＝100，
∴A＝{4，12，28，36，52，76，84，100}，8个．
（2）证明：∵U＝Z，x∈A，
∴x＝s2+3t2，
∴7x＝7（s2+3t2）＝7s2+21t2＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2∈A．
∴7x∈A．
（3）解：xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+（mp﹣3nq）2＝3（mq+np）2+3，
设mq+np＝6，∴，，
设，整理得11b2+2bt+12﹣t2＝0，
判别式法，△＝4b2﹣44（12﹣t2）≥0，得，
即．
∴x+y+mq+np的最小值为．