新人教版九年级上册第二十四章第一节第二部分 垂径定理（1）

(共19张PPT)
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
实践探究
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
●O
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
B
C
D
E
活 动 二
（1）圆是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
A
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
·
O
A
B
C
D
E
结论：AE=BE
⌒
⌒
ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
你能用语言表示上述结论吗？
已知：AB是弦，CD是直径，CD⊥AB
③AE=BE,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
垂径定理：
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中:
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤ AD = BD.
你可以写出相应的命题吗 并证明它。
·
O
A
B
C
D
E
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AE=BE
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
可推得
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｃ
１、 如图(1)，⊙O中，弦AB⊥弦CD于点Ｅ，
则AＣ=BＣ
２、 如图(2)ＣＤ是直径， AB是弦，CD交
ＡＢ交于点Ｅ，则AＥ=BＥ，AＣ=BＣ
３、 如图(3)，⊙O中，弦AB⊥直线CD于
点Ｅ，则AＥ=BＥ
４、 如图(4)，⊙O中，弦AB⊥半径ＯD
于点Ｅ，则AＥ=BＥ，ＡＤ＝ＢＤ
︵
︵
︵
︵
︵
︵
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｄ
Ｅ
Ｄ
Ｅ
如图（1）
如图（2）
如图（3）
如图（4）
解得：R≈27．9（m）
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
⌒
如图，用 AB 表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点C，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高．
⌒
⌒
⌒
⌒
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
活 动 三
在Rt △ AOE 中
过点O作OE⊥AB于点E,连结OA
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，
O
A
B
P
24mm
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
∵OE⊥AC OD⊥AB AB⊥AC
4、:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
图中相等的线段有 :
.
A
C
D
B
O
3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=8cm,CD=3cm,大圆的半径为５cm，求小圆的半径。
E
M
练习2
:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
　　
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、
圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据　　　定理求出第三个量：
C
D
B
A
O
练习１
：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
垂径
小 结
　　　　　　　　　　直径平分弦
　 直径垂直于弦=>　　
　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧
　　　　　　　　　　　　　　 直径垂直于弦
　 直径平分弦（不是直径）　　
　　　　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧
　　　　　　　　　 直径平分弧所对的弦
直径平分弧　　　
直径垂直于弧所对的弦
　　
=>　
=>　
１、圆是轴对称图形，何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
２、垂径定理及其逆定理的图式
试一试P93
11
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
A
B