绝密 考试结束前
2021学年第一学期浙江省绿谷高中联盟期中联考试题
高二年级数学学科 参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D B A B D B
二、多项选择题
9 10 11 12
AC BD AB BCD
三、填空题
1
13. ( 1, ,1) 14. 4 或 -16 15.[2 2,2 2] 16. 1
2
四、解答题
17.（1） AB (1,k 2, 3)， AB a AB a 0，
5
即 3 4k 8 15 0 ，得 k ； ………………………………5 分
2
AC ( 1,3,2) AC a AC a 3 12 10 5 2（2） ，a ( 3,4,5) ，向量 在 上的投影为 ，a 9 16 25 2
3 2 2 2 2
与 a同向单位向量为 ( , , ) ，
10 5 2
则向量 AC a 5 2 ( 3 2 2 2 2 3 5在向量上 上的投影向量为 , , ) ( ,2, ) . ………10 分
2 10 5 2 2 2
18.（1）i）由直线 l : x+2 a y 1 0 ，令 x+2 0,则 y 1 0 ，即点 P 2,1 ；
ii) PC 10, r 2 ,所以 PT PC 2 r 2 6 ；………………6 分
（2）设圆心C到直线 l的距离为 d ，因为 ABC为钝角三角形，所以 ACB为钝角，
3a 1
0 1 1 1故 d 2 ，所以0 2 ，所以a 1,
2 3
, . ………12 分
a 1 3 7
1
19.解析：(1)设 E为 BC中点，连结 AE,PE ,
AB=AC , PBC为正三角形, BC AE ,BC PE，
又 AE PE=E BC 平面PAE , PA 平面PAE
PA BC ………………5 分
（2）由（1）知 PEA就是二面角 P BC A的平面角，
作 BO AC交CA延长线于点O，
平面 PAC 平面 ABC且交线为 AC ,又 BO 平面ABC
BO 平面PAC , PA 平面PAC BO PA,
又 PA BC , BO BC=B PA 平面ABC ,
1
设 AB=2，则在 RT PAE中， AE=1,PE=3, cos PEA= 3，
所以二面角 P BC A
1
的余弦值为 ． ………………12 分
3
20.(1)延长侧棱交于点 P，连结 BD交 AC于点O，
连结 B1O，由条件可知O,B1分别为 BD与PB的中点，
B1O PD, 又 B1O 平面ACB1 ,PD 平面ACB1 ，
DD1 平面AB1C ………………5 分
（2）如图建立空间直角坐标系 A xyz ，则 A 0,0,0 ,B 4,0,0 ,D 0,4,0 ,C 4,4,0 ，
t
设 P 0, 2, t (t 0) ，则 B1 2,1,
，则 CP ( 4, 2, t) ，设平面 AB1C 的一个法向量
2
n AC 0 n (x, y, z) ， , 令 x 1,
2
则n (1, 1, ) ，
n AB1 0 t
x y 0
设直线CC1与平面AB1C
所成角为 ，
2x y
t
z 0
2
2
CP n
则 sin cos CP, n 4 4 4， 2t 37t 2 80 0 ，
CP n 20 t 2 2 4
9
t 2
10
解得： t 4,或t ， CC1 3,或 CC =
3
1 10 . ………………12 分2 4
2 2
21.解：（Ⅰ）因点 (1, 2) 在抛物线 y 2px上，故有 2 2p，所以 p 2 ，
2 2
从而抛物线的方程为 y 4x． 求得直线 AM 的方程为 y x 3，代入 y 4x，
2
得 x 10x 9 0 ，解得 x 1（舍去），或 x 9 ，
所以，点 B的坐标为 (9, 6)．………………………………………5分
t2
（Ⅱ）设点 A的坐标为 ( ,t)（ t 1），
2p
2
由M 为线段 AB t的中点，得点 B的坐标为 (4 , 2 t)，
2p
2 2
又点 B 2在抛物线 y 2px上，所以 (2 t)2 t (t 1) 1 2p(4 )， 即 p ．
2p 4
1 t 2 2△ PAB的面积 S S△PMA S△PMB 1 (4 t )
2 2p 2p
1 t 2 2
4 1 4t 4 1 8t 8 4 ．
2 p 2 (t 1)2 1 2 (t 1)2 1 t 1
2
1
t 1
所以，当 t 1 1，即 t 0或2时，△ PAB的面积取得最大值，最大值为 2．………12 分
22.解：（Ⅰ）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) ，直线方程为 y k(x c) ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
联立直线与椭圆方程得 (k a b )x 2k a cx (k c b )a 0，
2k 2a 2c
x1 x2 k 2a 2 b 2 2
y1 y2 k x1 x2 2kc
2kb c
，
(k
2c 2 b 2 )a 2 k 2a2 b2
x 1
x2 k 2a 2 b 2 ，
OA OB (x x ,y y ) ( 2k
2a2c 2kb2, c 1 2 1 2 k2a2 b2 k2a2 b2
) 因OA OB与 a (3k , 1)共线，
，
2k2a2c 6k2b2c
则 ，得 a2 3b2 ，
k2a2 b2 k2a2 b2
c2 2 6
（i） e2 e ………………4分
a2 3 3
3
x
ii P(x , y ) OP OA OB 0
x1 x2
（ ）设 0 0 ，由 得
y0 y1 y2
( x x )2 ( y y )2
代入椭圆方程得 1 2 1 2 1
3b2 b2
2 (x21 3y
2
1 )
2 (x2 3y22 2 ) 2 (x1x2 3y1y2 )整理得
3b2
1（*）
由（i）得 x2 21 3y1 3b
2 （1）， x2 2 22 3y2 3b （2）
3(2k 2b2 b2 ) (k 2c2 3k 2x b
2 ) k 2 1
1x2 3y1y2 2 3 （3）3k 1 3k 2 1 3k 2 1
2
将（1）（2）（3）代入（*）得 2 2 2 k 1 1,
3k 2 1
4
t k
2 1 1
令 - 3 [0, 1)
3k 2 1 3 3k 2 1 3
1
则1 2 2 2 t 2 2 ( 2 2)t ( 2 2 ) ( 2 2 )
3
（iii 2 2 4） 即 ………………8 分
3
c
（Ⅱ））O到直线 AB的距离 d ，
2
S 1 AB d ab a
2 b2 c2
2 2 ，2 a b
S 2 2 2 2 2 2 20 (a b ) (2a c ) (2 e )
S a2 2 2 2
2 2
b2 c2 c 2(a c )c 2(1 e )e
2
设 t 2 e2 (1,2)， (1,2)
t
2
t S原式= 2 ，即 的最小值为 2 . ………12 分
2(t 1)(2 t) S
(2 3 1 ) 0
t 2 4
4绝密 考试结束前
2021学年第一学期浙江省绿谷高中联盟期中联考试题
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2.圆的圆心C的坐标为
B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
4.，，，若，，共面，则实数为
A． B． C． D．
5.直线的截距式方程为
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中， ，
分别是棱的中点，则异面直线所成角的大小为
A． B． C． D．
7.已知圆C：，直线，则圆C上与直线距离为的点
的个数为
A． B． C． D．
8.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子做小球放入实验，
要求小球能与杯底接触，他能放入小球的最大半径是
A． B． C． D．1
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线，b和平面，若，，则直线b与平面的位置关系可能是
A． B．b与相交 C． D．
10.已知，若，则的值可能为
A． B． C． D．
11．圆与圆有且仅有两条公切线，实数的值可以取
A． B． C． D．
12.如图，已知抛物线，从直线上一点向抛物线引两条切线，切点分别为.直线过线段的中点，则点到直线的距离可以为
A．1 B． C． D．
非选择题部分
三．填空题:本题共4小题，单空题每题5分，共20分.
13.空间两点，中点坐标为 ▲ ．
14.直线，之间距离为，则实数 ▲ ．
15.在平面直角坐标系内，点，集合，
任意的点，则的取值范围是 ▲ ．
16.如图，在棱长为的正方体中，分别为 棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 ▲ ．
四．解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知点，，，向量．
（1）若，求实数的值；
（2）求向量在向量上上的投影向量.
18.（12分）已知直线，圆．
(1)i）当实数变化时，求直线经过的定点的坐标；
ii)若直线与圆相切于点，求的长；
(2)若直线与圆相交于两点，且为钝角三角形，求的取值范围．
19.（12分）如图，三棱锥中，，，为正三角形．
（1）证明：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
20.（12分）如图，四棱台中，底面为正方形，平面，
且，，．
（1）证明：；
（2）若直线与所成角的正弦值为，
求的长．
21.（本题12分）如图，点是抛物线（）上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点．
（Ⅰ）当的坐标为时，求点的坐标；
（Ⅱ）已知点，若为线段的中点，
求△面积的最大值．
22.（12分）如图，已知椭圆的标准方程为，斜率为k且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点.
（Ⅰ）若与共线.
求椭圆的离心率；
设P为椭圆上任意一点，且（λ，μ∈R），当时，
求证：．
（Ⅱ）已知椭圆的面积，当k=1时，△AOB的面积为，求的最小值.
