浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题（Word版含答案）

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湖州市三贤联盟2021-2022学年高一上学期期中联考
数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A． B. C. D.
2.设命题: “”，则
A. B.
C. D.
3.某地国民生产总值每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为
A B C D
4. 设，则使幂函数的定义域为，且为偶函数的的值是
A． B． C． D．
5.三个数，，大小的顺序是
A． B． C. D．
6.命题“”的一个充要条件是
A． B． C． D．
7. 已知函数 ，若，则实数的取值范围
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程（）有三个不相等的实数根,且，则的值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为，值域为,则关于此函数，下列说法正确的有
A. B. C. D.值域
10.下列函数中，既是偶函数又在区间上为减函数的有
A． B． C． D．
11. 已知关于的不等式的解集为，则
A． B．
C． D．不等式的解集为
12．已知且，则下列说法正确的是
A.最大值为 B. 最小值为
C. 最大值为 D.最小值为
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，，则 ▲
14. 已知关于的不等式的解集中恰有三个整数，则正整数的值为 ▲
15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表.
每户每月用水量 水价
不超过12的部分 3元/
超过12但不超过18的部分 6元/
超过18的部分 9元/
已知某户月份用水量超过，则该户该月应缴纳的水费（元）关于用水量（）的函数关系式是 ▲
16.已知且，，则的最大值是 ▲
四、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
(Ⅰ)求值：；
(Ⅱ)已知，求的值.
18.（本小题满分12分）
已知集合，且．
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)设条件，条件，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）
已知函数，.
(Ⅰ)用单调性定义证明：当时，函数在上单调递增；
(Ⅱ)若，使得成立，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知函数．
(Ⅰ)若，求在区间上的最大值和最小值；
(Ⅱ)设 若，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
如右图设矩形的周长为，把沿向翻折成为，交于点.设.
(Ⅰ) 若,求的取值范围；
(Ⅱ)设面积为，求的最大值及相应的的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数，，.
(Ⅰ)用表示中的最大者，记为.若对任意的，都有，求实数的最大值；
(Ⅱ)设函数,若方程恰有两个不相等的实数根，且.
①求的取值范围；
②求证：.
湖州市三贤联盟2021-2022学年高一上学期期中联考
数学学科参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C B D D A
解： 因为函数图像如下：
令，则有两个不等的
实数根，
由韦达定理知：,
则，
所以
二、多选题：
9 10 11 12
A C D B C A C D B D
三、填空题：
13. ； 14.6 ； 15. ； 16.
16题简解：
，
由
四、解答题
17.（本小题满分10分）
(Ⅰ)求值：；
(Ⅱ)已知，求的值.
解: (Ⅰ)原式= …………3分
= …………5分
(Ⅱ)由平方得 ………7分
由平方得 ………9分 ………10分
(由基本不等式可直接算出 进而直接得出答案,直接给5分)
18.（本小题满分12分）
已知集合，且．
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)设条件，条件，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：由集合可解得：，则，
（1），，；………………2分
由为真，则，，………………4分
，故的取值范围为.………………6分
（2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，………8分
又,得：，………………10分
解得：，故的取值范围为.………………12分
19.（本小题满分12分）
已知函数，.
(Ⅰ)用单调性定义证明：当时，函数在上单调递增；
(Ⅱ)若时，使得成立，求实数的取值范围.
解: (Ⅰ) 则
………3分
,又
, …6分
(Ⅱ)由得 即 ，又 ，使不等式成立， 对能成立，………8分
而在 上是增函数， 时有最大值 ，………11分
. ………12分
20.（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求在区间上的最大值和最小值；
(Ⅱ)设 若，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解: （Ⅰ）当 时,
当 时,有 ………3分
当 时,有 . ………4分
（Ⅱ）
对于任意的实数，不等式恒成立
. ………. ………6分
………7分
设 则
因为对称轴 ， ………8分
⑴当时, 在上单调递增， ，
由得 得， ……10分
⑵当 时,
由 得 . 得
所以此时有 综上得 . ………12分
21.（本小题满分12分）
设矩形的周长为，把沿向翻折成为，交于点.设.
(Ⅰ) 若,求的取值范围；
(Ⅱ)设面积为，求的最大值及相应的的值.
解：（1）由矩形周长为，可知.设，则
，.
在中，，即，
得………………3分
由题意，，即，
解得………………5分
由 得，. .………………6分
(2)，.
化简得.………………………9分
，.当且仅当，即时，……………………11分
.……………12分
22.（本小题满分12分）
已知函数，，.
(Ⅰ)用表示中的最大者，记为.若对任意的，都有，求实数的最大值；
(Ⅱ)设函数,若方程恰有两个不相等的实数根，记为，且.
①求的取值范围
②求证：.
解: (Ⅰ)⑴当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；……………2分
⑵当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；……………4分
⑶当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；……………6分
综上：，所以.
(Ⅱ)由题意知：
令 所以
⑴当时，在上单调递增，则方程只有一个实数跟，不符合题意舍去；
………………7分
⑵当时，当，所以方程有无数个实数跟，不符合题意舍去；………………8分
⑶当时，则
所以；………………10分
⑷当时，，
综上：，. ………………12分
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