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专题1.3 交集与并集
一、考情分析
二、考点梳理
1、并集
（1）．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1） （2） （3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
（2）．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），； （2）；
（3）； （4）．
交集
（1）．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
（2）．交集的性质
（1）； （2）；
（3）； （4）．
三、题型突破
重难点题型突破1 并集及其运算
例1．(1)、（2021·江苏海安高级中学高三期中）已知集合，，那么（ ）
A． B．
C． D．
(2)、（2021·江苏高一课时练习）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）．（2021·江苏高一）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、（2021·江苏高一专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2021·江苏高一课时练习）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破2 交集及其运算
例2．（1）（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高三月考）已知集合，则=
A． B． C． D．
（2）．（2021·江苏灌云县第一中学高三月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2021·江苏广陵·扬州中学）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2021·上海交大附中高一开学考试）设集合，，.则实数_______.
重难点题型突破3 交集、并集与补集混合运算
例3．（1）（2020·江苏省江浦高级中学）（多选题）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2018·江西高三一模（理））已知为实数集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、（2020·昆山市第一中学高一月考）（多选题）已知集合且，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
【变式训练3-2】、（2021·江苏广陵·扬州中学）如图请用集合、、、表示图中阴影部分所表示的集合（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）设全集，集合，
（1）求．
（2）求
例5．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
例6．（2021·江西高一期末）已知全集，集合，或，
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
例7．（2020·景谷傣族彝族自治县第一中学高一月考）设集合，集合．
（1）求使的实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·江苏高一课时练习）设集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，则（ ）
A．{0，4} B．{4} C．{1，2，3} D．
2．（2021·如皋市第一中学高一月考）设集合，集合{为20以内的质数}，则集合的元素个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021·江苏）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏）设，，则___________.
5．（2020·江苏泰州·高一期中）已知全集，集合，，则集合________．
6．（2021·江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）对于集合，定义且，，设，，则___________________．
7．（2020·盐城市实验高级中学）（多选题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·南京大学附属中学高三月考）（多选题）集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（ ）
A．a的值可为2 B．a的值可为
C．a的值可为 D．a的值可为
9．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
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专题1.3 交集与并集
一、考情分析
二、考点梳理
1、并集
（1）．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1） （2） （3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
（2）．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），； （2）；
（3）； （4）．
交集
（1）．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
（2）．交集的性质
（1）； （2）；
（3）； （4）．
三、题型突破
重难点题型突破1 并集及其运算
例1．(1)、（2021·江苏海安高级中学高三期中）已知集合，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用集合的并集运算求解．
【详解】
因为集合，，
所以．
故选：A．
(2)、（2021·江苏高一课时练习）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
用列举法表示出集合，进而可得.
【详解】
因为，又，所以.
故选：C.
（3）．（2021·江苏高一）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由集合的并集运算即可得出结果.
【详解】
故选：D
【变式训练1-1】、（2021·江苏高一专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
按并集的定义即可得答案.
【详解】
，，
所以.
故选：A.
【变式训练1-2】、（2021·江苏高一课时练习）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
解一元二次方程用列举法表示集合A，然后求出，最后按集合的并集概念进行运算即可.
【详解】
，，
.
故选：B
重难点题型突破2 交集及其运算
例2．（1）（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高三月考）已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
（2）．（2021·江苏灌云县第一中学高三月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用交集的定义可求得集合.
【详解】
由已知可得.
故选：B.
【变式训练2-1】、（2021·江苏广陵·扬州中学）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出集合，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】
，；
∴.
故选：D.
【变式训练2-2】、（2021·上海交大附中高一开学考试）设集合，，.则实数_______.
【答案】
【分析】
由可得，从而得到，即可得到答案.
【详解】
因为，所以，
显然，所以，解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
重难点题型突破3 交集、并集与补集混合运算
例3．（1）（2020·江苏省江浦高级中学）（多选题）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.
【详解】
由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数， 所以，即．
故选：BD．
【点睛】
本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.
（2）．（2018·江西高三一模（理））已知为实数集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定集合A,B，然后结合Venn图求解阴影部分表示的集合即可.
【详解】
求解分式不等式可得，
求解二次不等式可得，
则，
韦恩图中阴影部分表示的集合为，即.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【变式训练3-1】、（2020·昆山市第一中学高一月考）（多选题）已知集合且，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
【答案】ABD
【分析】
先根据集合的运算结果得到集合的基本关系，再分、，三种情况讨论求实数m的值.
【详解】
解：因为，所以，
当时，；
当时，；
当时，；
故选：ABD.
【点睛】
本题考查利用集合的运算结果求参数、利用集合的运算结果判断集合的包含关系求参数，是基础题.
【变式训练3-2】、（2021·江苏广陵·扬州中学）如图请用集合、、、表示图中阴影部分所表示的集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
在阴影部分部分区域内任取一个元素，分析与集合、、、的关系，由此可得出结论.
【详解】
在阴影部分部分区域内任取一个元素，则，，即，且，，
因此，阴影部分区域所表示的集合为.
故选：C.
例4．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）设全集，集合，
（1）求．
（2）求
【答案】（1）.
（2）
【分析】
（1）先求，再求；
（2）先求，再求.
【详解】
（1）因为全集，集合
所以，
所以.
（2）集合，
所以,
又全集，
所以
例5．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）本题首先可通过求解得出，然后通过得出或，最后通过检验即可得出结果；
（2）本题首先可通过得出，然后分为、中有一个元素、中有两个元素三种情况进行计算，通过判别式以及检验即可得出结果.
【详解】
（1），即，解得或，，
因为，所以，解得或，
若，，或，，满足题意；
若，，或，，满足题意，
故或.
（2）因为，所以，
若，则，解得；
若中有一个元素，则，解得，
此时，解得，，不满足题意；
若中有两个元素，则，，无解，不满足题意，
综上所述，的取值范围为.
例6．（2021·江西高一期末）已知全集，集合，或，
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)根据题意，画出数轴即可得到；
(2)现根据题意，求出，再结合，即可求出实数的取值范围.
【详解】
(1)根据题意得，.
(2)根据题意得，或，因此，
又因，所以，解得.
例7．（2020·景谷傣族彝族自治县第一中学高一月考）设集合，集合．
（1）求使的实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）;（2）存在，.
【分析】
（1），即.集合是一元二次方程的解集，要对方程是否有实数根、有几个实数根进行分类讨论；
（2）与是对立的，可先求出时的取值范围，再对该范围求补集即可.
【详解】
（1）因为，即.
因为集合，
所以，所以，
①当时，，，所以，成立，所以，
②当时，，由，得，所以且，
综上， .
（2）因为，，
所以①时，，此时成立，所以，
②时，，若，则，
③时，，若，则，
所以，时或，
所以，时，
即存在实数，使成立，.
【点睛】
本题考查集合之间的关系与运算，同时考查学生的转化与推理计算、分类讨论的能力，属于难题.
，即，把两个集合之间的交集运算转化成两个集合之间的子集关系；
集合是含参数的一元二次方程，方程根的情况是由决定的，所以需对的取值进行分类讨论；
当集合的一元二次方程有解时，两个根的大小关系如何，需要对方程根的大小关系分类讨论；
当两个根的大小关系确定时，借助于实数轴考虑对列式计算，如果直接列式情况较多，可考虑“正难则反”的数学思想，先解的答案，再得的答案.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·江苏高一课时练习）设集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，则（ ）
A．{0，4} B．{4} C．{1，2，3} D．
【答案】A
【分析】
根据集合补集、交集的定义进行求解即可.
【详解】
因为U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，
所以={0，3，4}，={0，1，4}，
所以{0，4}．
故选：A
2．（2021·如皋市第一中学高一月考）设集合，集合{为20以内的质数}，则集合的元素个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
用列举法分别表示出集合和，进而可得结果.
【详解】
依题意得，，所以，含2个元素.
故选：A
3．（2021·江苏）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将两个曲线联立求交点即可得出结论.
【详解】
解：集合，，
解得或，则
故选：D.
4．（2021·江苏）设，，则___________.
【答案】
【分析】
利用集合的表示法得，再利用并 补集的混合运算计算得结论.
【详解】
解：因为，，
所以，
因此.
故答案为：.
5．（2020·江苏泰州·高一期中）已知全集，集合，，则集合________．
【答案】
【分析】
首先用列举法表示出集合，直接计算即可.
【详解】
由题意得
所以
所以
故答案为：.
6．（2021·江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）对于集合，定义且，，设，，则___________________．
【答案】
【分析】
根据所给新定义计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，
所以
故答案为：
7．（2020·盐城市实验高级中学）（多选题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用交集和并集的运算求解.
【详解】
因为，所以，
所以
所以，.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.
8．（2020·南京大学附属中学高三月考）（多选题）集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（ ）
A．a的值可为2 B．a的值可为
C．a的值可为 D．a的值可为
【答案】BC
【分析】
确定集合表示以四个点，，，为顶点的正方形，如在第一象限直线方程为，在第四象限直线方程为，集合表示四条直线和，它们有八个交点，是正八边形的八个顶点，求出交点坐标（只需相邻三个即可，题中求出了四个），由边长相等可求得．
【详解】
集合A表示以四个点，，，为顶点的正方形，
集合B：或，
所以当是平面上正八边形的顶点所构成的集合时，
轴右边的4个交点为，，，，
由，解得（舍去），
由，解得（舍去），
故选：BC．
【点睛】
本题考查集合交集的概念，正确理解集合的意义是解题关键．
9．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据可得出，即可得出，解出的范围即可．
（2）由与的交集为空集，按和分类讨论确定出实数的范围即可．
【详解】
（1）若，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围为
（2）①当时，，可得，满足，符合题意.
②当时，若，则 或
解得：或无解
综上所述：
所以若，实数的取值范围为：.
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