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专题2.1 命题、定理、定义
A组 基础巩固
1．（2021·江苏·高一课时练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．命题“若，则”
B．命题“若，则”的逆命题
C．命题“当时，”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．
【详解】
A．当时，不成立，A错；
B．命题“若，则”的逆命题是若，则，错误，也可能是；
C．命题“当时，”的否命题是若，则，错误，时，也有；
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”是真命题，逆否命题也是真命题．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查命题真假的判断，四种命题之间互为逆否的命题同真假，因此原命题的为真只能判断逆否命题为真，而逆命题和否命题的真假不确定，需写出逆命题，否命题进行判断．这也告诉我们当一个命题难以判断真假时可考虑判断其逆否命题的真假．
2．（2020·江苏·扬州市第一中学高二期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是
A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思
【答案】A
【分析】
根据命题的定义判断可得出结论.
【详解】
对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题；
对于B选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题；
对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；
对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.
故选：A.
3．（2020·江苏·南京外国语学校高一月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】
求解不等式判断A；方程的解判断B；反例判断C；二次函数的性质判断D；
【详解】
解：，可得，所以不存在，，所以A不正确；
，解得，所以不存在，，所以B不正确；
，，所以，不正确，所以C不正确；
，，所以D正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题．
4．（2021·江苏·高一单元测试）
交换“”与“”，再逐一否定.命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则，或 B．若，则
C．若，或，则 D．若或，则
【答案】D
【分析】
命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”.
故选：D.
【点睛】
此题为基础题，互为逆否的命题等价；“或”的否定是“非且非”
5．（2021·江苏·高一课前预习）给定下列命题：
①若，则；②若，则；③矩形的对角线互相垂直；④命题“若，是无理数，则是无理数”是真命题；
其中真命题共有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据命题相关知识点，逐个判定，即可得出结果.
【详解】
①由得到或，所以不一定成立，是假命题；
②当时，有成立，正确，所以是真命题；
③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题.
④若，是无理数，则是有理数，所以④是假命题；
因此真命题共有1个.
故选：B
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，属于基础题型.
6．（2021·江苏·高一课前预习）下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
【答案】C
【分析】
根据空集、子集及真子集的概念与性质，选出答案即可.
【详解】
空集的子集是它本身，故A错误；
空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误；
空集的元素个数为0 ，故C正确；
空集只有一个子集，是它本身，故D错误.
故选：C.
【点睛】
空集是特殊的集合，没有任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
7．（2021·江苏·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【答案】D
【分析】
将其改写为“若p，则q”的形式，从而判断A；根据命题的定义判断B；举反例判断C，D；
【详解】
对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误；
对于B，所给语句是命题，则B错误；
对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误；
对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了命题的概念以及判断命题的真假，属于中档题.
8．（2021·江苏·高一专题练习）下列语句是命题的是
A． B． C．集合与简易逻辑 D．真子集
【答案】B
【详解】
试题分析：命题是可以判断真假的命题，4个选项中只有B中可以判断真假，因此是命题
考点：命题的概念
9．（2021·江苏·高一课时练习）给出下列语句：① 平行四边形不是梯形；② 2是无理数；③ 方程9x2－1＝0的解是x＝±；④ 这是一棵大树；⑤ 2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子．其中是命题的有___(填序号)
【答案】①②③⑤
【分析】
利用命题的概念即得.
【详解】
根据命题的定义可知，①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题.
故答案为：①②③⑤
10．（2021·江苏·高一专题练习）下列语句是命题的有________．
①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证是无理数．
【答案】①③④
【分析】
根据命题的定义进行判断．
【详解】
解：因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定，所无法判断其真假，所以⑤不是命题；因为⑥是祈使句，所以不是命题．①③④是命题．
故答案为：①③④
11．（2020·江苏·高一课时练习）设原命题：“若，则中至少有一个不大于”，则
①逆命题是“若中至少有一个不大于，则”
②否命题是“若，则中至少有一个大于”
③逆否命题是“若中至少有一个不大于，则”
则叙述正确的命题序号为___．
【答案】①
【分析】
写出原命题的逆命题，否命题及逆否命题，并判断题中叙述是否正确.
【详解】
①逆命题是“若中至少有一个不大于，则”，正确
②否命题是“若，则都不大于”，故②错误，
③逆否命题是“若中都不大于，则”，故③错误，
故正确的是①，
故答案为：①
12．（2020·江苏·高一月考）命题：“若，则”为___________命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
由绝对值的定义可得，即可判断.
【详解】
若，则，满足，
所以命题：“若，则”为真命题.
故答案为：真.
13．（2021·江苏·高一专题练习）给出以下结论：
①命题“若，则”的逆否命题“若，则”；
②“”是“”的充分条件；
③命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若，则且”的否命题是真命题.
其中错误的是__________.（填序号）
【答案】③
【分析】
根据逆否命题的定义、充分条件的判定和四种命题的关系可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于①，根据逆否命题的定义可知：“若，则”的逆否命题为“若，则”， ①正确；
对于②，当时，，充分性成立，②正确；
对于③，原命题的否命题为“若，则方程无实根”；当时，，此时方程有实根，则否命题为假命题；
否命题与逆命题同真假，逆命题为假命题，③错误；
对于④，原命题的逆命题为“若且，则”，可知逆命题为真命题；
否命题与逆命题同真假，否命题为真命题，④正确.
故答案为：③.
【点睛】
本题考查四种命题的关系及真假性的判断、充分条件的判定等知识；关键是熟练应用四种命题真假性的关系来进行命题真假的判断.
14．（2016·江苏沭阳·高二期中）有下列四个命题：①“若，则，互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题．其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
【答案】①②③
【分析】
结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．
【详解】
解：①“若，则，互为倒数”的逆命题是“若，互为倒数，则”，显然是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；
③若有实数解，则，解得，所以“若，则有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；
④若，则，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
故真命题有①②③
故答案为：①②③
【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是四种命题，难度中档．
15．（2019·江苏江苏·高三专题练习）给出以下四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
② “全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④若是正整数，则都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③
【分析】
对给出的四个命题分别进行分析、判断后可得正确的命题．
【详解】
对于①，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，
则x＋y＝0”，所以①为真命题；
对于②，不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；
对于③，由于原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；
对于④，若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
综上可得①③为真命题．
故答案为①③
【点睛】
在判断给定命题的真假时，若给出的命题较简单，则可直接判断；若给出的命题不容易判断，则可考虑其等价命题的真假，即通过考虑其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
16．（2019·江苏江苏·高三专题练习）下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①命题“若，则”的逆命题；
②命题“若，则”的否命题；
③命题“若，则”的否命题；
④“若，则”的逆否命题．
【答案】①④
【分析】
对给出的四个命题分别分析、判断即可得到结论．
【详解】
对于①，命题的逆命题为“若，则”，为真命题，所以①正确．
对于②，命题的否命题为“若，则”，为假命题，所以②不正确．
对于③，命题的逆命题为“若，则”，为假命题，所以③不正确．
对于④，命题“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，所以④正确．
综上①④为真命题．
故答案为① ④
【点睛】
判断命题的真假时，当命题较简单时，可直接判断其真假；若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．
17．（2019·江苏江苏·高三专题练习）给出命题：“若实数满足，则”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．
【答案】3
【分析】
根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同，只需判断原命题及其逆命题的真假即可得到结论．
【详解】
由条件得命题：“若实数满足，则”为真命题，故其逆否命题为真命题．
其逆命题为：若实数满足，则，为真命题，故否命题为真命题．
所以所给命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有3个．
故答案为3．
【点睛】
四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
B组 能力提升
18．（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）下列命题为真命题的有（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】
对A，C由不等式的性质即可求解，对B，令，即可判断；对D，由反比例函数的单调性即可求解.
【详解】
解：对A，，，
由不等式的性质可得：，故A正确；
对B，若，则，故B错误；
对C，，
由不等式的性质可得：，故C正确；
对D，，则，故D错误.
故选：AC.
19．（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】
根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】
因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
【点睛】
本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有个元素，则集合有个子集.
20．（2021·江苏·高一课时练习）（多选题）已知集合，，则（ ）
A．集合 B．集合可能是
C．集合可能是 D．0可能属于B
【答案】ABD
【分析】
根据集合，的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可．
【详解】
∵，∴，故A正确．
∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵不是自然数，∴集合不可能是，故C错误；
∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了集合，的概念及集合元素的特点，属于基础题．
21．（2021·江苏·高一课时练习）（多选）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【分析】
根据中位数定义可确定，判断选项中的取值集合是否满足即可.
【详解】
根据中位数定义可知，只需，则中位数必为
选项中的取值集合均满足，均正确
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据命题真假性求解参数范围的问题，属于基础题.
22．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题的真假．
（1）当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0；
（2）若x∈A∪B，则x∈A∩B；
（3）一次函数y＝x＋1的图象经过点(0，1)．
【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题．
【分析】
根据实数乘法法则判断（1），由集合的交集与交集的概念判断（2），由一次函数的解析式判断（3）．
【详解】
时，或或，（1）错误，（1）是假命题；
例如，，，，，但，（2）错误，（2）是假命题；
时，，所以一次函数y＝x＋1的图象经过点(0，1)．（3）正确，（3）是真命题．
23．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题的真假.
（1）若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
（2）若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；
（3）等腰三角形的底角相等；
（4）矩形的对角线相等.
【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题.
【分析】
（1）由三角形的内角和为及两个角互余的定义即可判断；
（2）根据整数的除法运算即可判断；
（3）根据等腰三角形的性质即可判断；
（4）根据矩形的性质即可判断.
【详解】
解：（1）因为三角形的内角和为，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为，那么第三个角为，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题；
（2）若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题；
（3）根据等腰三角形的性质有，等腰三角形的底角相等，该命题为真命题；
（4）根据矩形的性质有，矩形的对角线相等，该命题为真命题.
24．（2020·江苏·南京一中高一月考）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围；
（2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可；
（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围.
【详解】
解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立，
当时，满足题意，
当时，则 ，
解得：，
综上所述：；
（2）若为真命题，即关于的方程有实数根，
则，
解得：，
若p与q都是假命题，
则，
解得：，
若p与q中至少有一个为真命题，
则；
（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，
则或，
解得：或，
综上所述：.
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专题2.1 命题、定理、定义
A组 基础巩固
1．（2021·江苏·高一课时练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．命题“若，则”
B．命题“若，则”的逆命题
C．命题“当时，”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题
2．（2020·江苏·扬州市第一中学高二期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是
A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思
3．（2020·江苏·南京外国语学校高一月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2021·江苏·高一单元测试）
交换“”与“”，再逐一否定.命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则，或 B．若，则
C．若，或，则 D．若或，则
5．（2021·江苏·高一课前预习）给定下列命题：
①若，则；②若，则；③矩形的对角线互相垂直；④命题“若，是无理数，则是无理数”是真命题；
其中真命题共有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
6．（2021·江苏·高一课前预习）下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
7．（2021·江苏·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
8．（2021·江苏·高一专题练习）下列语句是命题的是
A． B． C．集合与简易逻辑 D．真子集
9．（2021·江苏·高一课时练习）给出下列语句：① 平行四边形不是梯形；② 2是无理数；③ 方程9x2－1＝0的解是x＝±；④ 这是一棵大树；⑤ 2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子．其中是命题的有___(填序号)
10．（2021·江苏·高一专题练习）下列语句是命题的有________．
①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证是无理数．
11．（2020·江苏·高一课时练习）设原命题：“若，则中至少有一个不大于”，则
①逆命题是“若中至少有一个不大于，则”
②否命题是“若，则中至少有一个大于”
③逆否命题是“若中至少有一个不大于，则”
则叙述正确的命题序号为___．
12．（2020·江苏·高一月考）命题：“若，则”为___________命题.（填“真”或“假”）
13．（2021·江苏·高一专题练习）给出以下结论：
①命题“若，则”的逆否命题“若，则”；
②“”是“”的充分条件；
③命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若，则且”的否命题是真命题.
其中错误的是__________.（填序号）
14．（2016·江苏沭阳·高二期中）有下列四个命题：①“若，则，互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题．其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
15．（2019·江苏江苏·高三专题练习）给出以下四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
② “全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④若是正整数，则都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
16．（2019·江苏江苏·高三专题练习）下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①命题“若，则”的逆命题；
②命题“若，则”的否命题；
③命题“若，则”的否命题；
④“若，则”的逆否命题．．
17．（2019·江苏江苏·高三专题练习）给出命题：“若实数满足，则”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．
B组 能力提升
18．（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）下列命题为真命题的有（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
19．（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（ ）
A． B． C．0 D．1
20．（2021·江苏·高一课时练习）（多选题）已知集合，，则（ ）
A．集合 B．集合可能是
C．集合可能是 D．0可能属于B
21．（2021·江苏·高一课时练习）（多选）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为
A． B． C． D．
22．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题的真假．
（1）当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0；
（2）若x∈A∪B，则x∈A∩B；
（3）一次函数y＝x＋1的图象经过点(0，1)．
23．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题的真假.
（1）若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
（2）若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；
（3）等腰三角形的底角相等；
（4）矩形的对角线相等.
24．（2020·江苏·南京一中高一月考）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
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