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专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件
一、考情分析
二、考点梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
三、题型突破
重难点题型突破1 充分、必要、充要条件的判断
例1．（1）、（2019·北京·昌平一中高二期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）、（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知a，b＞0，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
（3）、（2021·广东·中山中学高一月考）（多选题）设，则的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
（4）、（2020·江苏海安·高二期中）（多选题）下列叙述中不正确的是
A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若,则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若,则“对恒成立”的充要条件是“”
【变式训练1-1】、（2021·广东·茂名市电白区水东中学高一月考）已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-2】、（2020·江苏·吴县中学高二月考）下列是“”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】、（2021·江苏南京·高二期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-4】、（2021·江苏·高一单元测试）下列命题中：①若，，则；②“”是“”的充分不必要条件；③若，则；④“”是“”的必要不充分条件，上述命题中正确命题的序号______.
重难点题型突破2 充分、必要、充要条件的应用
例2．（1）、（2021·江苏·沭阳如东中学高三月考）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·江苏·高一课时练习）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围_______________________．
【变式训练2-1】、（2020·江苏·高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
【变式训练2-2】、（2021·江苏·高一专题练习）已知，，若p是q的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
例3．（2021·江苏·高一单元测试）已知集合．
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一单元测试）已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
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专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件
一、考情分析
二、考点梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
三、题型突破
重难点题型突破1 充分、必要、充要条件的判断
例1．（1）、（2019·北京·昌平一中高二期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
当时，成立，即充分性成立；
当时，不一定成立，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
（2）、（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知a，b＞0，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【答案】B
【分析】
分充分性和必要性分别讨论：
充分性：取特殊值判断；
必要性：利用基本不等式进行证明.
【详解】
充分性：取，满足，但是，不满足.故充分性不满足；
必要性：.故必要性满足.
故“”是“”的必要非充分条件．
故选：B
（3）、（2021·广东·中山中学高一月考）（多选题）设，则的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
根据充分条件、必要条件的判定方法，结合选项，即可求解.
【详解】
由，可得构成集合，
结合选项，可得集合，均真包含M，
所以与是的一个必要不充分条件.
故选：AC.
（4）、（2020·江苏海安·高二期中）（多选题）下列叙述中不正确的是
A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若,则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若,则“对恒成立”的充要条件是“”
【答案】BD
【分析】
对A,B,C,D四个选项,根据相关知识逐个判断是否正确即可.
【详解】
对A,令,方程有一个正根和一个负根,则,则有,∴“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,正确；
对B,当时,若“”成立,而,充分性不成立,错误；
对C,,或，∴“”是“”的充分不必要条件,正确；
对D,对恒成立可以推出且,但是,没有这个条件时,不可以推出,错误．
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查充要条件,充分不必要条件,必要不充分条件的判断,涉及一元二次方程的根的分布,不等式的性质,以及一元二次不等式恒成立等价条件的应用,属于基础题.
【变式训练1-1】、（2021·广东·茂名市电白区水东中学高一月考）已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由得或，再利用充分不必要条件定义判断得解.
【详解】
解：由得得或，
因为当时，或成立，
当或时，不一定成立，
所以“”是“”的的充分不必要条件，
故选：A．
【变式训练1-2】、（2020·江苏·吴县中学高二月考）下列是“”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出不等式的解集，然后根据必要不充分条件的定义分析可得．
【详解】
，分析各选项，只有B是必要不充分条件．
故选：B．
【变式训练1-3】、（2021·江苏南京·高二期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
从充分性和必要性两个方面，分和讨论，分别求解证明即可.
【详解】
解：当 ，时，此时成立，
当，时，此时成立，
即可以推出，
反之，若，则中至少有一个负数，
若均为负数，必然有，
若，则，
因为，则必有，
所以可以推出，
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分性和必要性的判断，考查学生分类讨论的思想，是中档题.
【变式训练1-4】、（2021·江苏·高一单元测试）下列命题中：①若，，则；②“”是“”的充分不必要条件；③若，则；④“”是“”的必要不充分条件，上述命题中正确命题的序号______.
【答案】②③④
【分析】
取特殊值可判断①；由基本不等式可判断③；由充分条件必要条件的定义判断②④.
【详解】
对于①，当时，，故①错误；
对于②，若，则，故充分性成立；若，取，满足，但不满足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故②正确；
对于③，若，则，则，故③正确；
对于④，若，，则，故充分性不成立；若，则，所以，故必要性成立，即“”是“”的必要不充分条件，故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查命题真假的判断，其中涉及不等式性质，基本不等式，充分必要条件的判断，属于基础题.
重难点题型突破2 充分、必要、充要条件的应用
例2．（1）、（2021·江苏·沭阳如东中学高三月考）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出、中的不等式，根据是的充分不必要条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
解不等式，即，解得，
解不等式，即，解得，
由于是的充分不必要条件，则 ，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.
（2）、（2021·江苏·高一课时练习）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围_______________________．
【答案】
【分析】
结合不等式的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【详解】
解：由得
解得，
设
由得
解得，
设．
是的必要不充分条件，
是的必要不充分条件，
，即
，解得
实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件与集合关系进行转化是解决本题的关键．
【变式训练2-1】、（2020·江苏·高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
解不等式，解得，
解方程，解得或.
①当时，即当时，不等式即为，
该不等式的解集为，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ，
可得，此时；
③当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ,
可得，解得.
检验：当时，则有 ，合乎题意；
当时，则有 ，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．
【变式训练2-2】、（2021·江苏·高一专题练习）已知，，若p是q的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将命题，化简，利用集合法列出不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
由，得，所以，
由，得，所以，
若p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以，解得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查已知必要不充分条件求参数范围，关键是将必要不充分条件正确的转化为集合之间的真包含关系，属于中档题.
【变式训练2-3】、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．方程有实数根的充要条件是或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
【答案】CD
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.
【详解】
在A中，二次方程有实数根，等价于判别式，解得或，即二次方程有实数根的充要条件是或，故A错误；
在B中，二次方程有一正一负根，等价于，解得，
方程有一正一负根的充要条件是，故B错误；
在C中，方程有两正实数根，等价于解得，故方程有两正实数根的充要条件是，故C正确；
在D中，方程无实数根，等价于得，
而，故是方程无实数根的必要条件，故D正确；
故选：CD．
【点睛】
结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的充分条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（2）若是的必要条件，则可推出，即对应集合是对应集合的子集；
（3）若是的充要条件，则，可互推，即对应集合与对应集合相等.
例3．（2021·江苏·高一单元测试）已知集合．
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，，根据交集并集运算法则即可得解；
（2）根据A是B的真子集，建立不等关系求解参数范围.
【详解】
（1）当时，，
；
（2）若是成立的充分不必要条件，则是B的真子集，
或
解得：，因为m=-1时为充要条件，不合题意，
所以
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一单元测试）已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）解分式不等式可得集合；
（2）由已知条件可得出，对和的大小关系进行分类讨论，结合可得出实数所满足的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，
所以，所以，故；
（2）由得，
由是的必要条件，知.
①当，即时，，则，解得；
②当，即时，，则，解得；
③当，即时，，不满足.
综上可得，实数的取值范围为.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．
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