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专题2.3 全称量词命题与存在量词命题
A组 基础巩固
1．（2020·天津·高一期中）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一月考）若“，”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·苏州大学附属中学高一月考）命题：“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高一月考）命题“，都有”的否定是（ ）
A．，使得 B．，都有
C．，使得 D．，都有
5．（2021·河北·高一月考）下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；
②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；
③是无理数，是有理数；
④是无理数，是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021·江苏·海安市曲塘中学高一月考）已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2021·辽宁·高三月考）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·河南商丘·高一月考）命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·湖北·武汉市吴家山中学高一月考）已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·江苏省阜宁中学高一月考）命题：的否定是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一月考）全称命题“，x2+2x+3≥0”的否定是（ ）
A．，x2+2x+3＜0 B．，x2+2x+3≥0
C．，x2+2x+3≤0 D．，x2+2x+3＜0
12．（2021·河北·石家庄市第四中学高一月考）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高一月考）若命题“，为真命题”，则实数a的取值范围是_________.
14．（2021·山东省实验中学高三月考）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___________.
15．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高一月考）若命题“，使成立”是假命题，则实数的取值范围为______.
16．（2021·江苏·泰州中学高一月考）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是___________.
17．（2020·广东·东莞市东莞中学高一月考）已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为___________.
18．（2021·江苏·苏州中学高一月考）若命题“”为假命题，则m的取值范围是___________.
19．（2021·江苏省黄埭中学高一月考）己知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为__________．
20．（2021·山东·枣庄市第三中学高一月考）下列命题真命题的是__________（填写序号）．
①方程有整数解；
②，的否定为，；
③，使得能被11整除；
④，的否定是，．
21．（2021·四川·开江县任市中学高三月考（文））下列说法正确的是___________（填写序号）
①命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③若为假命题，则均为假命题；
④命题，使得，则，均有.
22．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
（1）有的质数是偶数；
（2）所有的质数都是奇数；
（3）负数的平方是正数；
（4）每一个多边形的外角和都是360°.
23．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假：
（1）有的偶数是3的倍数；
（2）矩形的对角线相等；
（3）有的平行四边形的四个角都相等；
（4）平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线.
B组 能力提升
24．（2021·江苏·苏州大学附属中学高一月考）（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．，的个位数字不等于3 B．{是无理数}，是无理数
C．， D．，是4的倍数
25．（2021·湖南·益阳市箴言中学高一月考）（多选题）下列说法中错误的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，，”的否定是“，，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．对任意，总有
26．（2021·安徽省太和中学高一月考）（多选题）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．奇数都不能被2整除
B．有的实数是无限不循环小数
C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D．对任意实数x，方程都有解
27．（2021·山东师范大学附中高一月考）（多选题）下列命题是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．存在实数，使
B．存在一个无理数，它的立方是有理数
C．有一个实数的倒数是它本身
D．每个四边形的内角和都是360°
28．（2021·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）（多选题）下列命题中是真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．不等式成立的一个必要不充分条件是或
D．“”是“”的充分条件
29．（2021·安徽省舒城中学高一月考）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．“，”是“”成立的充要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
30．（2021·河南·西平县高级中学高一月考）已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
31．（2021·河北·石家庄二十三中高一月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（1）对任意都成立；
（2），使.
32．（2021·安徽省阜阳第一中学高一月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2），与3的和不等于0；
（3）三角形的三个内角都为60°；
（4）存在三角形至少有两个锐角．
33．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））设命题，；命题，使．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，一真一假，求实数的取值范围．
34．（2021·辽宁·凤城市第一中学高一月考）已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
35．（2021·安徽省泗县第一中学高三开学考试（文））已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围．
36．（2021·全国·高一课前预习）写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）；
（2）p：所有的正方形都是矩形；
（3）p：至少有一个实数，使;
（4）p ：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
37．（2021·全国·高一专题练习）已知，
（1）写出命题的否定；命题的否定；
（2）若或为真命题，求实数的取值范围．
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专题2.3 全称量词命题与存在量词命题
A组 基础巩固
1．（2020·天津·高一期中）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得；
【详解】
解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；
故选：C
2．（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一月考）若“，”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题得，，再对分两种情况讨论得解.
【详解】
由题得，，
当时，，符合题意；
当时，，解之得.
综上，.
故选：D
3．（2021·江苏·苏州大学附属中学高一月考）命题：“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定，即可得出答案.
【详解】
解：由全称命题的否定为特称命题得“，”的否定为：，.
故选：C
4．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高一月考）命题“，都有”的否定是（ ）
A．，使得 B．，都有
C．，使得 D．，都有
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定变量词否结论即可求解.
【详解】
命题“，都有”的否定是：，使得，
故选：C.
5．（2021·河北·高一月考）下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；
②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；
③是无理数，是有理数；
④是无理数，是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.
【详解】
对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题；
对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题；
对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；
对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.
所以①②是真命题.
故选：B
6．（2021·江苏·海安市曲塘中学高一月考）已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定，即可得出答案.
【详解】
解：因为：，，
则为，.
故选：C.
7．（2021·辽宁·高三月考）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据全称命题和特称命题的否定：变量词否结论即可求解.
【详解】
命题，则为：，
故选：A.
8．（2021·河南商丘·高一月考）命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题可知，即求.
【详解】
原命题可写为“，”，
当时，随x增大而增大，所以取 最大值为3，
所以．
故选：D
9．（2021·湖北·武汉市吴家山中学高一月考）已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由命题“，”是真命题，求得，结合选项，即可得到命题是真命题的一个必要不充分条件，得到答案.
【详解】
由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，
因为，所以，
结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.
故选: B.
10．（2021·江苏省阜宁中学高一月考）命题：的否定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据全称量词命题的否定的改法即可得出结果.
【详解】
由题意知，
命题：,
它的否定为：.
故选：A
11．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一月考）全称命题“，x2+2x+3≥0”的否定是（ ）
A．，x2+2x+3＜0 B．，x2+2x+3≥0
C．，x2+2x+3≤0 D．，x2+2x+3＜0
【答案】D
【分析】
根据含全称量词的命题的否定直接求解即可.
【详解】
由含量词命题的否定知，
命题“，”的否定是“，”
故选：D
12．（2021·河北·石家庄市第四中学高一月考）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，结合二次函数的性质，得到，即可求解.
【详解】
由题意，命题“”是真命题，
根据二次函数的性质，可得，
即，解得，即实数a的取值范围是.
故选：A.
13．（2021·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高一月考）若命题“，为真命题”，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
对不等式的二次项系数进行分类讨论，分别求出不等式恒成立时实数的取值范围，最后求并集即可．
【详解】
由题意得不等式对恒成立．
当时，不等式在上恒成立，符合题意．
②当时，若不等式对恒成立，则，
解得．
综上可得：，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
14．（2021·山东省实验中学高三月考）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题意可得在有解，可得，只需求时，的值域即为实数的取值范围.
【详解】
若命题“，”是真命题，
则在有解，
所以在有解，
因为，所以，
所以，
故答案为：.
15．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高一月考）若命题“，使成立”是假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】
根据特称命题的否命题是真命题，转化为不等式恒成立，即可求解.
【详解】
由题可知“，”为真命题，
当时，，，
当时，则，所以，
综上可得.故答案为：.
故答案为：
16．（2021·江苏·泰州中学高一月考）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据特称命题的否定是真命题，转化为二次不等式恒成立，即可求解实数a的取值范围.
【详解】
∵命题“，使”是假命题，
∴命题“，使”是真命题，
即判别式，即.
故答案为：
17．（2020·广东·东莞市东莞中学高一月考）已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
命题，为真命题，结合二次函数的最值，即可得到结果.
【详解】
∵命题，为假命题，
∴命题，为真命题，
又，
∴，
即实数m的取值范围为.
故答案为：.
18．（2021·江苏·苏州中学高一月考）若命题“”为假命题，则m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
先求得命题的否定，结合一元二次不等式恒成立求得的取值范围.
【详解】
依题意命题“”为假命题，
则“”为真命题，
所以，
解得.
故答案为：
19．（2021·江苏省黄埭中学高一月考）己知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
根据存在性命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．
【详解】
∵命题“ x0∈R，”是假命题，
∴命题“ x∈R，”是真命题，
即对应的判别式△=（a-1）2-4≤0，
即（a-1）2≤4，
∴﹣2≤a-1≤2，
即﹣1≤a≤3，
故答案为：．
20．（2021·山东·枣庄市第三中学高一月考）下列命题真命题的是__________（填写序号）．
①方程有整数解；
②，的否定为，；
③，使得能被11整除；
④，的否定是，．
【答案】①③
【分析】
①中对赋值即可判断方程是否有整数解；
②根据特称命题的否定是全称命题，即可判断是否真命题；
③赋值即可判断；④根据全称命题的否定是特称命题，即可判断是否真命题；
【详解】
对于①：在中，令则即存在整数解故①为真命题；
对于②：，的否定为，，故②为假命题；
对于③：当时均能被11整除，所以，使得能被11整除，故③为真命题；
对于④：，的否定是，,故④为假命题.
故答案为：①③
21．（2021·四川·开江县任市中学高三月考（文））下列说法正确的是___________（填写序号）
①命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③若为假命题，则均为假命题；
④命题，使得，则，均有.
【答案】①②④
【分析】
根据四种命题之间的关系，可判断①；
根据充分条件与必要条件的概念，可判断②；
根据且命题真假的定义，可判断③；
根据存在性命题的否定形式，可判断④.
【详解】
①根据逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故①正确；
②因为 ，所以 或，因此“”时“”的充分不必要条件；故②正确
③若“”为假命题，则至少有一个是假命题；故③错误；
④含有一个量词的命题的否定，只需改写量词和结论即可；
因此，若命题“，使得”，则“，均有”，故④正确.
故答案为：①②④
22．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
（1）有的质数是偶数；
（2）所有的质数都是奇数；
（3）负数的平方是正数；
（4）每一个多边形的外角和都是360°.
【答案】（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题.
【分析】
含有存在量词的命题是存在量词命题，如“有的”，“某些”，“存在”；
含有全称量词的命题是全称量词命题，如“所有的”，“每一个”，“凡是”，“任意的”.
【详解】
（1）“有的”是存在量词，故命题为存在量词命题；
（2）“所有的”是全称量词，故命题为全称量词命题；
（3）题中指“所有的”负数，故命题为全称量词命题；
（4）“每一个”是全称量词，故命题为全称量词命题.
故答案为：（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题.
23．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假：
（1）有的偶数是3的倍数；
（2）矩形的对角线相等；
（3）有的平行四边形的四个角都相等；
（4）平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线.
【答案】（1）存在量词命题，真命题；（2）全称量词命题，真命题；（3）存在量词命题，真命题；（4）全称量词命题，真命题.
【分析】
根据全称量词和存在量词命题的定义即可判断，进一步判断出真假.
【详解】
（1）命题为存在量词命题，且为真命题；
（2）命题为全称量词命题，且为真命题；
（3）命题为存在量词命题，且为真命题；
（4）命题为全称量词命题，且为真命题.
B组 能力提升
24．（2021·江苏·苏州大学附属中学高一月考）（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．，的个位数字不等于3 B．{是无理数}，是无理数
C．， D．，是4的倍数
【答案】AC
【分析】
，平方后个位数字为，故A正确；令即可判断B 错误；令即可判断C正确；分是奇数和偶数两种情况说明即可判断.
【详解】
解：对于A选项，，其个位数为，平方后个位数字为，不能为，故正确；
对于B选项，令，则是有理数，故错误；
对于C选项，令，则，故正确；
对于D选项，当是奇数时，不妨设，则，由于，故，故不是4的倍数，当是偶数时，是奇数，不是4的倍数，故错误.
故选：AC
25．（2021·湖南·益阳市箴言中学高一月考）（多选题）下列说法中错误的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，，”的否定是“，，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．对任意，总有
【答案】ACD
【分析】
根据相关知识逐项判断命题的真假即可得出答案.
【详解】
根据特称命题的否定可知命题“”的否定是“ ”
选项A错误；
根据全称命题的否定可知命题“”的否定是“ ”
选项B正确；
根据充分条件和必要条件的定义，当时可得，反之不成立
所以“”是“”的必要不充分条件，选项C错误；
时，，所以选项D错误.
故选：ACD.
26．（2021·安徽省太和中学高一月考）（多选题）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．奇数都不能被2整除
B．有的实数是无限不循环小数
C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D．对任意实数x，方程都有解
【答案】AC
【分析】
根据全称量词的定义求解即可.
【详解】
选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题．
故选：AC
27．（2021·山东师范大学附中高一月考）（多选题）下列命题是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．存在实数，使
B．存在一个无理数，它的立方是有理数
C．有一个实数的倒数是它本身
D．每个四边形的内角和都是360°
【答案】BC
【分析】
根据已知逐个判断各选项即可得出结果.
【详解】
对于A.是存在量词命题，但不存在实数，使成立，即为假命题，故A错误，
对于B,是存在量词命题，例如无理数，它的立方是为有理数，故B正确，
对于C,是存在量词命题，例如1的倒数是它本身，为真命题，故C正确，
对于D,是全称量词命题，故D错误，
故选：BC
28．（2021·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）（多选题）下列命题中是真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．不等式成立的一个必要不充分条件是或
D．“”是“”的充分条件
【答案】ACD
【分析】
对于A、C、D,利用定义法即可判断；
对于B：直接写出命题的否定即可判断.
【详解】
对于A：因为或，所以由“”可以推出“”，但是由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故A正确；
对于B：由全称命题的否定可得：命题“，都有”的否定是“，使得”.故B错误；
对于C：或，所以由或不能推出或，但是由或，可以推出或，故不等式成立的一个必要不充分条件是或.故C正确；
对于D：因为，所以，所以，所以，即.
但是当时，不妨取，不满足，即由不能推出，
所以“”是“”的充分条件，故D正确.
故选：ACD.
29．（2021·安徽省舒城中学高一月考）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．“，”是“”成立的充要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】
A.根据推出关系进行判断；B.全称命题的否定方法：修改量词，否定结论即可；C.根据推出关系进行判断；D.根据推出关系进行判断.
【详解】
A选项：时，时不能推出，故A正确；
B选项：全称命题的否定方法：修改量词，否定结论，故B正确；
C选项：时不能推出，，故C错误；
D选项：不能推出，能推出，故D正确.
故选：ABD.
30．（2021·河南·西平县高级中学高一月考）已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式求解；
（2）分类讨论的正负求出集合B,再根据中只有一个整数建立不等式求解.
【详解】
（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
31．（2021·河北·石家庄二十三中高一月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（1）对任意都成立；
（2），使.
【答案】（1）全称量词命题，否定为：，假命题；（2）存在量词命题，否定为：，使，假命题.
【分析】
（1）根据全称量词命题的定义，结合，即可求解；
（2）根据存在量词命题的定义，结合，即可求解.
【详解】
（1）全称量词命题，其否定为：“”
因为，
所以命题“对任意都成立”为真命题，故否定为假命题；
（2）存在量词命题，其否定为：“，使”
对于方程，可得，
所以命题“，使”为真命题，故其否定为假命题.
32．（2021·安徽省阜阳第一中学高一月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2），与3的和不等于0；
（3）三角形的三个内角都为60°；
（4）存在三角形至少有两个锐角．
【答案】答案见解析
【分析】
根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断各命题的类型，根据含含量词的命题的真假否定的方法确定各命题的否定，再判断其真假.
【详解】
（1）存在量词命题，否定：所有奇数都能被3整除，假命题；
（2）全称量词命题，否定：，，假命题；
（3）全称量词命题，否定：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题；
（4）存在量词命题，否定：每个三角形最多有一个锐角，假命题．
33．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））设命题，；命题，使．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，一真一假，求实数的取值范围．
【答案】；或.
【分析】
结合不等式的恒成立及二次函数性质即可得出结果；
结合复合命题的真假关系进行讨论即可.
【详解】
解：依题意可知恒成立，因为当时，，所以；
由可知，当命题为真命题时，，
所以为假命题时，，
命题为真命题时，，解得或，
所以为假命题时，，
因为命题与一真一假，
所以当命题为真，命题为假时，；
当命题为假，命题为真时，.
综上所述，的取值范围是或.
34．（2021·辽宁·凤城市第一中学高一月考）已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】
解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
35．（2021·安徽省泗县第一中学高三开学考试（文））已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围．
【答案】或
【分析】
先分别求出，为真时，的范围；再求交集，即可得出结果.
【详解】
若是真命题．则对任意恒成立，∴；
若为真命题，则方程有实根，
∴，解得或，
由题意，真也真，∴或．
即实数的取值范围是或.
36．（2021·全国·高一课前预习）写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）；
（2）p：所有的正方形都是矩形；
（3）p：至少有一个实数，使;
（4）p ：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
【答案】答案见解析
【分析】
先确定出所给命题是全称命题还是特称命题，再针对对量和结论两方面进行转换和否定，再通过证明或举例判断其否定的真假.
【详解】
命题⑴的否定是：．
因为对于任意的，所以为假命题
命题(2)的否定是：存在正方形，它不是矩形．
因为正方形是特殊的矩形，所以为假命题．
命题(3) 否定是：，
因为当时， ，所以为假命题．
命题(4)的否定是：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，
如图所示：正方体中，直线,与底面ABCD的夹角相等，但它们不平行，所以，为真命题．
37．（2021·全国·高一专题练习）已知，
（1）写出命题的否定；命题的否定；
（2）若或为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】
（1）特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可；
（2）由或为真命题，则有为真命题或为真命题，从而即可求得实数的取值范围．
【详解】
解：（1）：；：
（2）由题意知，真命题或真命题，
当真命题时，，
当真命题时，，解得，
因此，当或为真命题时，实数的取值范围为或，即．
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