中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3 全称量词命题与存在量词命题
一、考情分析
二、考点梳理
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
2.命题的否定和否命题（原命题：若p，则q）
(1)否命题：
(2)命题的否定：
三、题型突破
重难点题型突破1 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1．（1）、（2021·甘肃·天水市第一中学高一月考）下列说法错误的是（ ）
A．我校家庭贫困的学生不能组成一个集合
B．若，则
C．若p是q的充分条件，那么一定有q是p的必要条件
D．，是一个假命题
（2）．（2021·河南商丘·高一月考）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（ ）
A．有些四边形的内角和不等于360° B．，
C．， D．所有能被4整除的数都是偶数
【变式训练1-1】．（2021·湖北省水果湖高级中学高一月考）若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】．（2021·广西河池·高一月考）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．，的命题的否定是假命题
B．，使的命题的否定是假命题
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的命题的否定是真命题
D．至少有一个整数，使为奇数的命题的否定是真命题
重难点题型突破2 全称量词命题或存在量词命题的否定
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】（2021·河北·石家庄市第四中学高一月考）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、（2021·河北·高三月考）命题“，”的否定是______．
【变式训练2-3】、（2021·山西·怀仁市第一中学校高一月考）命题：“，”的否定是__________．
重难点题型突破2 全称量词命题与存在量词命题的应用
例4．（2021·湖南·武冈市第二中学高一月考）已知下列命题：
（1）命题“，”的否定是“，”；
（2）已知p，q为两个命题，若“”为假命题“”为真命题；
（3）“”是“”的充分不必要条件；
（4）“若，则且”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是______．
【变式训练4-1】、（2021·吉林·长春市第二中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．的一个必要不充分条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．已知，，则的否定对应的的集合为
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为
【变式训练4-2】、（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一月考）下列命题中，真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．“”是“”的充分不必要条件
【变式训练4-3】、（2021·福建·三明一中高一月考）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题p：，是假命题
C．已知a，，则“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”是“”成立的充要条件
例5．已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式训练5-1】、（2021·重庆一中高一月考）已知，命题：，，命题：，.
(1)若p为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3 全称量词命题与存在量词命题
一、考情分析
二、考点梳理
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
2.命题的否定和否命题（原命题：若p，则q）
(1)否命题：
(2)命题的否定：
三、题型突破
重难点题型突破1 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1．（1）、（2021·甘肃·天水市第一中学高一月考）下列说法错误的是（ ）
A．我校家庭贫困的学生不能组成一个集合
B．若，则
C．若p是q的充分条件，那么一定有q是p的必要条件
D．，是一个假命题
【答案】B
【分析】
A由集合的性质判断正误；B易知即可知推出关系；C由题设有即可判断正误；D由于，是真命题，即可题设命题的真假.
【详解】
A：“家庭贫困的学生”不够明确，不符合集合中元素的确定性，故不能组成集合，正确；
B：由题设，，则，错误；
C：由题设，，即q是p的必要条件，正确；
D：有成立，故题设命题为假命题，正确；
故选：B
（2）．（2021·河南商丘·高一月考）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（ ）
A．有些四边形的内角和不等于360° B．，
C．， D．所有能被4整除的数都是偶数
【答案】D
【分析】
根据定义分析判断即可.
【详解】
A和C都是存在量词命题，B是全称量词命题，但其是假命题，如时，，D选项为全称命题且为真命题．
故选：D.
【变式训练1-1】．（2021·湖北省水果湖高级中学高一月考）若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可知方程有实数解，即求.
【详解】
由题知方程有实数解，
∴，
解得，
故选：B.
【变式训练1-2】．（2021·广西河池·高一月考）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．，的命题的否定是假命题
B．，使的命题的否定是假命题
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的命题的否定是真命题
D．至少有一个整数，使为奇数的命题的否定是真命题
【答案】BD
【分析】
对于A：写出全称命题的否定，取检验即可判断；对于B：写出特称命题的否定，举反例即可判断；对于C：根据命题的否定与原命题真假相反即可判断；对于D：写出特称命题的否定，因式分解后分析奇数、偶数即可判断.
【详解】
解：对于A：命题的否定为：，，显然为真命题（取检验即可），
∴选项A错误；
对于B：命题的否定为：，，举反例：当时，，所以是假命题，
∴选项B正确；
对于C：因为命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等为真命题，所以此命题的否定为假命题，
∴选项C错误；
对于D：命题的否定为：，为偶数，
因为是偶数，所以是真命题，
∴选项D正确.
故选：BD.
重难点题型突破2 全称量词命题或存在量词命题的否定
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，
可得命题“”的否定为：“”
故选：C.
（2）、（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得出答案.
【详解】
因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以为“”.
故选：D.
【变式训练2-1】（2021·河北·石家庄市第四中学高一月考）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由全称命题的否定：将并否定原结论，即可知正确选项.
【详解】
由题设命题为全称命题，
∴为“”.
故选：A
【变式训练2-2】、（2021·河北·高三月考）命题“，”的否定是______．
【答案】，
【分析】
根据全称命题的否定形式，即得解
【详解】
根据全称命题的否定形式，命题的否定为，．
故答案为：，
【变式训练2-3】、（2021·山西·怀仁市第一中学校高一月考）命题：“，”的否定是__________．
【答案】，或
【分析】
由全称命题的否定为，否定原结论，即可写出命题的否定.
【详解】
由特称命题的否定：命题的否定为“，或”.
故答案为：，或
重难点题型突破2 全称量词命题与存在量词命题的应用
例4．（2021·湖南·武冈市第二中学高一月考）已知下列命题：
（1）命题“，”的否定是“，”；
（2）已知p，q为两个命题，若“”为假命题“”为真命题；
（3）“”是“”的充分不必要条件；
（4）“若，则且”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是______．
【答案】（1）（2）
【分析】
存在命题的否定，存在改全称，再否定结论，判断（1）正确；通过”为假命题可分析出全为假命题，全为真命题，（2）正确；，则（3）错误；原命题为假，则逆否命题为假，（4）错误
【详解】
对于，命题“， “的否定是
“，”，正确；
对于，若“”为假命题，则p为假命题，且q为假命题，
是真命题，且是真命题，
“”为真命题，正确；
对于，时，不成立，即充分性不成立，
时，成立，即必要性成立，
“”是“”的必要不充分条件，错误；
对于，当时，有或，
命题“若，则且”是假命题，
它的逆否命题为假命题，错误．
综上，正确的命题是（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．
【变式训练4-1】、（2021·吉林·长春市第二中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．的一个必要不充分条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．已知，，则的否定对应的的集合为
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为
【答案】ABCD
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；利用二次方程根的个数与判别式的关系可判断B选项的正误；解不等式，结合命题的否定可判断C选项的正误；利用集合子集的个数公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，则，成立，即，
另一方面，若，取，，则成立，但不成立，即.
所以，的一个必要不充分条件是，A对；
对于B选项，当时，， 不合乎题意，
因为集合中只有一个元素，则，解得，B对；
对于C选项，由可得，故的否定对应的的集合为，C对；
对于D选项，已知集合，则满足条件，则为集合的子集，
因为集合的子集个数为，故集合的个数为，D对.
故选：ABCD.
【变式训练4-2】、（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一月考）下列命题中，真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】
根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断．
【详解】
时，，但无意义，A错；
时一定有，而当时，，但，充分性正确，B正确；
由存在命题的否定是全称命题，命题“，使得”的否定是“都有”，C正确；
，或，因此D正确．
故选：BCD．
【变式训练4-3】、（2021·福建·三明一中高一月考）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题p：，是假命题
C．已知a，，则“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”是“”成立的充要条件
【答案】AC
【分析】
由充分条件和必要条件的定义可判断ACD，由特称命题的定义判断B.
【详解】
对于A，由能推出，但由不能推出， 如时，故A正确；
对于B，取，命题p：，是真命题，故B错误；
对于C，由不能推出，由能推出，故C正确；
对于D，由，能推出，但由能推出，，故D错误.
故选：AC.
例5．已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）m>5；（2）a≥9.
【分析】
（1）进行参变分离，进而通过求函数的最值解得答案；
（2）根据充分不必要条件的定义即可得到答案.
【详解】
（1）由题意恒成立，设
因为，所以，所以.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以.
【变式训练5-1】、（2021·重庆一中高一月考）已知，命题：，，命题：，.
(1)若p为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】
(1)利用二次函数性质求解命题中的取值范围，利用补集关系，即可求出命题p为假命题时m的取值范围；(2)首先求出命题中的取值范围，然后结合已知条件和(1)中结论即可求解.
【详解】
(1) 由，，对不等式分类讨论：
(i)当时，即，这与矛盾；
(ii)当时，由对恒成立以及二次函数性质可知，
，
又因为p为假命题，所以，
故实数m的取值范围为.
(2)若，，即，，
故只需即可，
(i)若真假，结合(1)中结论可知，
，解得；
(ii)若假真，结合(1)中结论可知，
，解得，
综上所述，实数m的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
