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专题3.1 不等式的基本性质
一、考情分析
二、考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
一般式 二次函数 一元二次方程[ 一元二次不等式
图像与解 或
无解
无解 R 无解
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型突破
重难点题型突破1 等式与不等式的性质
例1．（1）、（2021·江苏·南京师大附中高一月考）若a，b，c，d均为实数，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2）、（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
（3）、（2020·江苏·南京一中高三月考）（多选题）若a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练1-1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练1-2】．（2021·丽水外国语实验学校高一月考）(多选题)已知，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】、（2021·广东·高三月考）（多选题）下列不等关系正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
例2、（1）（2020·江苏·扬中市第二高级中学高一期中）已知，则的取值范围是________________.
（2）、（2021·广东·深圳实验学校高一月考）若，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（3）、（2021·河南·周口恒大中学高一月考）已知实数x，y满足，，则（ ）
A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy
【变式训练2-1】、（2021·河北·石家庄市第三十八中学高一月考）（多选题）已知，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、（2020·江苏省太湖高级中学高一期中）已知，，则的取值范围是________.
【变式训练2-3】、（2020·江苏·高一课时练习）已知，且，那么的取值范围是_________.
重难点题型突破2其他不等式的综合情况
例3．（1）、（2021·靖西市第二中学高一期中）不等式的解集为_______________
（2）、（2020·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．
（3）、（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】．（2021·江苏·高一课时练习）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练3-4】．（2020·山西·大同市平城中学校高一月考）已知，则m、n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x0
x
y
O
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专题3.1 不等式的基本性质
一、考情分析
二、考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
一般式 二次函数 一元二次方程[ 一元二次不等式
图像与解 或
无解
无解 R 无解
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型突破
重难点题型突破1 等式与不等式的性质
例1．（1）、（2021·江苏·南京师大附中高一月考）若a，b，c，d均为实数，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
举特例说明并判断选项A，B，利用不等式性质推理判断选项C，D即可作答.
【详解】
对于A，如3>2，-3<0，显然3+(-3)<2+0，A不正确；
对于B，如3>2，-4>-5，显然，B不正确；
对于C，因，而，则，C不正确；
对于D，因，则，又，于是得，所以，D正确.
故选：D
（2）、（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C.
（3）、（2020·江苏·南京一中高三月考）（多选题）若a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】
利用不等式的性质以及基本不等式逐一判断即可.
【详解】
对于A，若，则a，b同正、同负
所以，故A正确；
对于B，若，当时，则，故B不正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D不正确.
故选：AC
【变式训练1-1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
【变式训练1-2】．（2021·丽水外国语实验学校高一月考）(多选题)已知，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据不等式的性质和特殊值逐项判断即可.
【详解】
对于A选项，取，可得，A错；
对于B选项，取，可得，B错；
对于C选项，取可知，C错；
对于D选项，由题意可知，则，因为，所以，，D对.
故选：ABC.
【变式训练1-3】、（2021·广东·高三月考）（多选题）下列不等关系正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】
AD选项可通过举反例判断其错误，BC选项可通过不等式性质判断.
【详解】
A.若，满足，但是，则A错误；
B.由不等式基本性质6可知B正确；
C. 由不等式基本性质7可知C正确；
D.若，则，
不成立，D不正确.
故选：BC.
例2、（1）（2020·江苏·扬中市第二高级中学高一期中）已知，则的取值范围是________________.
【答案】；
【分析】
将所求式子变形为，结合不等式的基本性质即可求出的取值范围.
【详解】
解：，因为，
所以，所以，
故答案为:
（2）、（2021·广东·深圳实验学校高一月考）若，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据，的范围求出，的范围，两个不等式相加即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故选：C.
（3）、（2021·河南·周口恒大中学高一月考）已知实数x，y满足，，则（ ）
A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy
【答案】C
【分析】
将已知等式两式相加判断A；由题意可得，解不等式组判断B；由结合已知判断C；由结合已知判断D.
【详解】
∵，，
∴两式相加，得，即1≤x≤4，故A错误；
∵，
∴，解得，故B错误；
∵，又，
∴，故C正确；
∵，又且 ，
∴，故D错误.
故选：C.
【变式训练2-1】、（2021·河北·石家庄市第三十八中学高一月考）（多选题）已知，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
将，两个不等式相加即可得到，即A正确；将两边同乘以-1，再与两边乘以2的结果相加即可得到故B不正确；将两边同时乘以2，与相加，即可判断C、D的正误.
【详解】
，故A正确；
故B不正确；
设， 则
，
故C正确、D错误；
故选：AC
【变式训练2-2】、（2020·江苏省太湖高级中学高一期中）已知，，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
把用和表示，然后由不等式的性质得出结论．
【详解】
令，则，解得.
∵，，
∴．
故答案为：.
【点睛】
本题考查不等式的性质，解题关键是设，求出，即用和表示出，然后由不等式的性质求解，切忌先求出的范围及的范围，然后由的范围求得的范围．
【变式训练2-3】、（2020·江苏·高一课时练习）已知，且，那么的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
采用同向可加性，需把当做一个整体，采用待定系数法，利用同向可加性进行求解
【详解】
设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)，则，解得．因为-1＜a+b＜3，2＜a-b＜4，
所以-＜(a+b)＜，-2＜-(a-b)＜-1，
所以-＜(a+b)-(a-b)＜，
即-＜2a+3b＜
【点睛】
此题容易产生错解，把整体加减，表示出，的取值范围，再通过同向可加性进行求解，错误原因在于无形中放大了取值范围，解题时要尤为注意
重难点题型突破2其他不等式的综合情况
例3．（1）、（2021·靖西市第二中学高一期中）不等式的解集为_______________
【答案】空集
【分析】
利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】
不等式可化为：，无解，
所以不等式的解集为空集，
故答案为：空集
（2）、（2020·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．
【答案】.
【分析】
由，则或，解不等式组即可得解.
【详解】
解：由，
则或，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
（3）、（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，解得，
故选：B.
【变式训练3-1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，不等式，可化为，解得，
即不等式的解集为.故选：A.
【变式训练3-2】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得|x-3|+|x-4|＜a有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a＞1.故选：A
【变式训练3-3】．（2021·江苏·高一课时练习）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
先化简得，即得解.
【详解】
由得，
所以.
反之，也成立.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
【变式训练3-4】．（2020·山西·大同市平城中学校高一月考）已知，则m、n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】
根据题意可得，求出，然后利用作差法比较的大小，再根据倒数法则即可得出结论.
【详解】
解：因为，，
所以，
，
，
则，
所以，所以.
故选：B.
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x0
x
y
O
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