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专题3.2 基本不等式
一、考情分析
二、考点梳理
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型突破
(一) 利用基本不等式求最值
例1.（1）若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）、（2021·浙江·高二学业考试）已知正实数、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、（2022·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2020·江苏省黄桥中学高二月考）当时，函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
例2.（1）、（2020·浙江省杭州第二中学高一期中）（多选题）《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2021·浙江·金华市方格外国语学校高一月考）（多选题）已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练2-2】.（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
(二) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.(1)（2020·六安市裕安区新安中学）已知都是正数,且，则的最小值等于
A． B．
C． D．
（2）.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
(3)．（2021·江西宜春市·丰城九中高二期中（文））已知，，，则的最小值是______．
【变式训练3-1】.（2018·河北石家庄市·石家庄一中高一期中（文））若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】、（2022·江苏·高三专题练习）设正实数，满足，则( )
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【变式训练3-3】、（2020·浙江省淳安县汾口中学高一月考）已知，，，则的最小值为__________.
(三) 均值不等式在实际问题中的应用
例4．（2020·江苏省震泽中学高一月考）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.
【变式训练4-1】.（2021·江苏高三一模）甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元.
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
(四) 不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5．(1)、（2021·江苏·扬州中学高一月考）（多选题）若不等式对所有正数，均成立，则实数可为（ ）
A． B． C．2 D．4
（2）．（2021·阜阳市耀云中学高二期中）设，若恒成立，则k的最大值为___________.
【变式训练5-1】、（2021·江苏·高一课时练习）已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】.（2021·江苏省海州高级中学高一月考）不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围是___________．
利用基本不等式证明
例6、（2021·江苏省苏州实验中学高一月考）已知正实数a，b，x，y．
（1）若（x﹣1）（y﹣1）＝4，求xy的最小值；
（2）证明：≥，并指出等号成立的条件．
例7、（2021·浙江·高一期末）已知正数a，b，c满足．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）求证：．
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专题3.2 基本不等式
一、考情分析
二、考点梳理
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型突破
(一) 利用基本不等式求最值
例1.（1）若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】
【解析】 ，当且仅当时取等号.
（2）、（2021·浙江·高二学业考试）已知正实数、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值是.
故选：B.
【变式训练1-1】、（2022·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分别讨论和两种情况，根据基本不等式，即可求得答案.
【详解】
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
综上：的取值范围是.
故选：C
【变式训练1-2】、（2020·江苏省黄桥中学高二月考）当时，函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】
根据给定条件配凑，再利用均值不等式求解即得.
【详解】
当时，，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，函数的最小值为8.
故选：A
例2.（1）、（2020·浙江省杭州第二中学高一期中）（多选题）《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．
【详解】
解：根据图形，利用射影定理得：，又，，
所以
由于，
所以．
由于，
所以．
故选：．
（2）．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，分别表示和，根据长度关系，判断选项．
【详解】
由图可知，，，
在中，，显然，
即．
故选：B.
【变式训练2-1】、（2021·浙江·金华市方格外国语学校高一月考）（多选题）已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】
对于AB选项，构造合适的表达式，利用基本不是求最值即可；而对于CD选项，需要消元，将表达式化简成关于或的表达式，接着整理化简，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】
若，则，当且仅当时等号成立，所以成立，故A正确；
若，则，又因为，
所以，当且仅当即时等号成立.故B错误；
若，则,
因为，
令，则，
所以
，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
，则，
即，显然，所以，又
，所以，
若
所以，
当且仅当时等号成立，故D错误；
故选：AC
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
【变式训练2-2】.（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】ACD
【分析】
根据基本不等式 “一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.
【详解】
易知C正确；
对A，因为，所以，则，当且仅当时取“=”，正确；
对B，若，则，错误；
对D，因为，，所以，则，当且仅当时取“=”，正确.
故选：ACD.
(二) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.(1)（2020·六安市裕安区新安中学）已知都是正数,且，则的最小值等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ,故选C.
（2）.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
（方法一）：， （当且仅当m=n=时等号成立）.（方法二）：（当且仅当m=n=时等号成立）.
(3)．（2021·江西宜春市·丰城九中高二期中（文））已知，，，则的最小值是______．
【答案】16
【分析】
利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
依题意.
当且仅当时等号成立.
故答案为：16
【变式训练3-1】.（2018·河北石家庄市·石家庄一中高一期中（文））若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：由，可得，进而展开用基本不等式可得最小值.
详解：由，可得.
当且仅当，即时有最小值9.
故选C.
【变式训练3-2】、（2022·江苏·高三专题练习）设正实数，满足，则( )
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD
【分析】
对于选项A：利用基本不等式中，结合“1”的灵活用法，即可求解；
对于选项BCD：使用基本不等式即可求解.
【详解】
选项A：，取等号时，故A正确；
选项B：，取等号时，所以有最大值，故B错误；
选项C：，所以，取等号时，故C正确；
选项D：由，化简得，，取等号时，故D正确.
故选：ACD.
【变式训练3-3】、（2020·浙江省淳安县汾口中学高一月考）已知，，，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】
将代入得到，再利用基本不等式可求最小值．
【详解】
解：，，，
，（当且仅当即，时取等号），
的最小值为；
故答案为：．
(三) 均值不等式在实际问题中的应用
例4．（2020·江苏省震泽中学高一月考）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.
【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．（2）
【分析】
（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立恒成立，利用基本不等式求解函数的最值即可．
【详解】
解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，则屋子前面新建墙体长为，
则
因为．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立．
即，从而，即恒成立，
又．
当且仅当，即时等号成立．
所以．
【变式训练4-1】.（2021·江苏高三一模）甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元.
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
【答案】（1），定义域为；（2）.见解析
【分析】
（1）由题意货车每小时的运输可变成本为，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；
（2）利用基本不等式求最小值，当时等号成立，即知当火车以的速度行驶，全程运输成本最小.
【详解】
（1）由题意，得可变成本为，固定成本为a元，所用时间为，
所以，定义域为.
（2）（元），
当，得，
因为，
所以当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小.
(四) 不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5．(1)、（2021·江苏·扬州中学高一月考）（多选题）若不等式对所有正数，均成立，则实数可为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】BCD
【分析】
由题意可知对所有正数x，y均成立，即，然后结合均值不等式求出的最大值即可.
【详解】
∵对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，
∴
又，
当且仅当时等号成立，
∴，
故选：BCD
（2）．（2021·阜阳市耀云中学高二期中）设，若恒成立，则k的最大值为___________.
【答案】
【分析】
由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围．
【详解】
因为，
所以
当且仅当，即时等号成立．
所以．
故答案为：．
【变式训练5-1】、（2021·江苏·高一课时练习）已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由参变量分离法可得，利用基本不等式求出当时，的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
由参变量分离法可得，当时，，
当时，，，
当且仅当时，等号成立，故，解得.
故选：D.
【变式训练5-2】.（2021·江苏省海州高级中学高一月考）不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
不等式化为，利用基本不等式即可得解.
【详解】
解：不等式化为：，
，，当且仅当时取等号．
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故答案为：.
利用基本不等式证明
例6、（2021·江苏省苏州实验中学高一月考）已知正实数a，b，x，y．
（1）若（x﹣1）（y﹣1）＝4，求xy的最小值；
（2）证明：≥，并指出等号成立的条件．
【答案】（1）9；（2）具体见解析.
【分析】
（1）将原式化为，进而通过基本不等式构造关于 的二次不等式，进而得到答案；
（2）对题目进行分析，进而对进行化简，然后运用基本不等式，最后变形即可.
【详解】
（1）因为a，b，x，y都是正实数，原式化简得：，
所以，则，
当且仅当x=y=3时取“=”
（2）因为a，b，x，y都是正实数，所以
，则，当且仅当bx=ay时取“=”.
例7、（2021·浙江·高一期末）已知正数a，b，c满足．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）求证：．
【答案】（I）2；（II）证明见解析.
【分析】
（I）利用常量代换法有，结合基本不等式求得问题的最小值.
（II）观察多项式的每两项的乘积得到的结果，利用基本不等式的性质，求得多项式的最小值.
【详解】
（I）∵
∴
，当且仅当时，取得等号，
即的最小值为2.
（II）
当且仅当时等号成立.
【点睛】
方法点睛：常量代换结合不等式基本性质解决分式不等式的最值问题.
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