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专题4.2 对数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 对数
例1．（1）、（2021·浙江·高三学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对数的运算性质计算即可得答案.
【详解】
.
故选：B.
（2）．（2021·上海）下列计算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
【变式训练1-1】．（2021·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________.
【答案】
【分析】
根据对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】
解：
故答案为：
【变式训练1-2】、17．（2019·江苏·徐州一中高一月考）下列运算中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别利用根式与指数幂的互化，对数的运算及性质进行判断.
【详解】
对于A，所以，故A错，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错，
对于D，，故D错，
故选B.
【点睛】
本题考查了指对的运算及性质的应用，熟练掌握指对运算法则及性质是解题的关键.
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2020·全国高一课时练习）如果，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用指数化对数得可，故选：C．
（2）、（2020·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ；
【答案】243
【分析】
利用指对数互化即可求出.
【详解】
因为，所以.
故答案为：243.
（3）．（2019·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】
由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【点睛】
本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．
【分析】根据对数的定义进行转化．
【答案】解：（1）lg100＝2，（2）eb＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【分析】根据指数式ax＝N等价于对数式x＝logaN，可将指数式与对数式互化．
【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；
（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．
【变式训练2-3】．（2021·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
【答案】B
【分析】
利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【详解】
对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；
对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
(三) 解对数方程
例3．（1）、（2017·浙江兰溪·高一月考）____________
【答案】2
【详解】
∵lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，∴lg（x-y）（x+2y）=lg2xy．
∴（x-y）（x+2y）=2xy，即 （x-2y）（x+y）=0．
再由x、y都是正数可得x+y≠0，∴x-2y=0，∴
故答案为2
（2）．（2021·上海）若，则_____________.
【答案】
【分析】
根据对数的运算性质计算可得；
【详解】
解：
因为，所以
故答案为：
【变式训练3-1】．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据对数的定义，先求出，进而求出x.
【详解】
因为，所以，则x=2.
故选：B.
【变式训练3-2】．（2021·上海）方程的解为__________.
【答案】或
【分析】
将原方程化为，可得或，即可得出原方程的解.
【详解】
因为，即，
所以，或，即或，解得或.
故原方程的解为或.
故答案为：或.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（1）、（2020·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；
【答案】.
【分析】
由指对互化及换底公式和对数运算性质可得结果.
【详解】
由得，，
则，
所以，又，所以.
故答案为：.
（2）．（2019·浙江·嘉兴一中高一月考）若实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论以及对数的运算法则即可求出．
【详解】
因为，所以，
．
故选D．
【点睛】
本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用．
例5、（2019·浙江温州·高一期中）计算（Ⅰ）
（Ⅱ）
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）．
【分析】
直接利用对数的运算性质化简求值．
【详解】
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
．
【点睛】
本题主要考查对数的运算性质和对数恒等式，属于基础题．
【变式训练5-1】．（2021·上海高一专题练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
【答案】（1）3；（2）1；（3）-7.
【分析】
利用对数的运算性质化简计算即可.
【详解】
（1）原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2
=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
（2）原式=
（3）原式=
例6．（2020·南京外国语学校高一月考）（1）已知，，．求的值；
（2）若，，用a，b表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，将 用表示出来，
（2）化指数式为对数式求得，把要表示的式字换成以18为底的对数，即可求解.
【详解】
（1）设，
所以，，，
所以，即，
即，令，
则，解得：或（舍），
所以
，
（2）由题意，所以，则.
【点睛】
本题主要考查了指对函数互化，以及对数的运算，换底公式，属于中档题
【变式训练6-1】．（2020·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；
（2）已知，试用表示对数.
【答案】（1）-12；（2）.
【分析】
（1）利用对数运算求得正确结论.
（2）利用对数运算求得正确结论.
【详解】
（1）原式
.
（2）
.
(五) 对数的实际应用
例7．（1）、（2018·浙江绍兴·高一期末）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________．
【答案】3
【详解】
由
将对数转化为指数
（2）、（2022·上海高三专题练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
【变式训练7-1】．（2021·江苏扬州·高三月考）航天之父 俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】
由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
【变式训练7-2】、（2021·江苏洪泽·高三月考）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（ ）
A．10 B．15 C．30 D．32
【答案】D
【分析】
根据地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，计算即可求解.
【详解】
由题意知，，，
所以,
解得，
故选：D
例8、（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；
（2）利用指数与对数式的互化解方程，求得即可得解.
【详解】
（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，
所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；
（2）由可得，
所以，，.
因此，该古生物距今大约年.
【变式训练8-1】．（2020·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.
（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么
（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析.
【分析】
（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果；
（2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果；
（3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论.
【详解】
（1）如果，且，，
那么，
化为对数式得；
（2）设，所以，
因为，所以，
所以，
所以的位数为6677；
（3）根据题意得，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以甲同学的近似值更接近.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键.
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专题4.2 对数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 对数
例1．（1）、（2021·浙江·高三学业考试）（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·上海）下列计算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】．（2021·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________.
【变式训练1-2】、（2019·江苏·徐州一中高一月考）下列运算中正确的是
A． B．
C． D．
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2020·全国高一课时练习）如果，则有（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2020·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ；
（3）．（2019·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【变式训练2-3】．（2021·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
(三) 解对数方程
例3．（1）、（2017·浙江兰溪·高一月考）____________
（2）．（2021·上海）若，则_____________.
【变式训练3-1】．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3-2】．（2021·上海）方程的解为__________.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（1）、（2020·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；
（2）．（2019·浙江·嘉兴一中高一月考）若实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．1
例5、（2019·浙江温州·高一期中）计算（Ⅰ）
（Ⅱ）
【变式训练5-1】．（2021·上海高一专题练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
例6．（2020·南京外国语学校高一月考）（1）已知，，．求的值；
（2）若，，用a，b表示．
【变式训练6-1】．（2020·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；
（2）已知，试用表示对数.
(五) 对数的实际应用
例7．（1）、（2018·浙江绍兴·高一期末）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________．
（2）、（2022·上海高三专题练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【变式训练7-1】．（2021·江苏扬州·高三月考）航天之父 俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A． B． C． D．
【变式训练7-2】、（2021·江苏洪泽·高三月考）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（ ）
A．10 B．15 C．30 D．32
例8、（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【变式训练8-1】．（2020·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.
（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么
（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
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